10.2.3. Блоховские волны и граничные условия

Мы уже видели, что в общем существует конечное число решений уравнения (10.7). Решение с номером дает амплитуды плоских волн, которые образуют блоховскую волну с номером Интенсивности дифрагированных пучков для любой реальной экспериментальной ситуации определяются распределением энергии между различными блоховскими волнами, которые в сбою очередь определяются граничными условиями. Таким образом, чтобы получить амплитуды каждой волны в кристалле и, следовательно, амплитуды волн, выходящих из кристалла в вакуум, мы складываем блоховские волны с весовым множителем а, так, что амплитуда волны, соответствующей точке обратной решетки, в блоховской волне записывается как

Граничные условия на входной поверхности таковы, что сумма амплитуд всех пучков равна нулю, за исключением направления падающего пучка, т. е.

где дельта-функция Кронекера (она равна единице для и нулю для других К). Умножение (10.11) на и суммирование по дает

При условии что блоховские волны ортогональные и нормированные, если Тогда (10.12) принимает вид

или

Таким образом, множитель для амплитуд каждой блоховской волны является величиной, комплексно-сопряженной с нулевым коэффициентом Фурье этой блоховской волны.

В случае плоскопараллельной кристаллической пластинки все волны в кристалле, соответствующие одной точке обратной решетки на выходной поверхности будут преломляться в одном и том же направлении, образуя дифрагированную волну в вакууме. В кристалле амплитуда этой волны будет

Преломление на выходной поверхности изменяет длину проекции волнового вектора на нормаль к поверхности, как показано на фиг. 10.2. В малоугловом приближении разница в проекциях равна а в проекциях Ко и она равна Тогда, если нормаль к поверхности есть единичный вектор мы имеем

Фиг. 10.2. Связь между волновыми векторами в кристалле и обратным пространством для двухволнового случая.

Далее, поскольку -компоненты равны, мы можем ввести в (10.15)

Следовательно, волновая функция в вакууме для дифрагированной волны, отвечающей отражению такова:

Мы пренебрегаем экспоненциальным множителем так как это постоянный фазовый член для всех пучков. Интенсивность дифрагированного пучка дается квадратом модуля суммы в квадратных скобках. Для того чтобы вычислить амплитуды и интенсивности дифрагированных пучков, необходимо, следовательно, найти собственные значения и собственные векторы для матричных уравнений (10.7) и (10.8).

Как и в гл. 8, мы можем явно ввести поглощение и иметь дело с действительными величинами возникшими за счет добавления коэффициентов Фурье функции поглощения в связи с чем (10.8) примет вид

Обе эти матрицы эрмитовы, но сумма их комплексна.