1.5.2. Ряд Борна

Если амплитуда рассеянной волны значительно меньше амплитуды падающей волны, то в первом приближении можно считать, что под интегралом можно заменить на амплитуду падающей волны Это так называемое первое борновское приближение. Борновские приближения более высоких порядков находятся с помощью итераций. Таким образом, приближение второго

порядка получается при замене под интегралом на и так далее.

Для плоской падающей волны первое борновское приближение дает

При обычных условиях эксперимента можно предположить, что точка наблюдения находится в точке где очень велико по сравнению с размерами поля рассеяния. Тогда, записывая получаем асимптотическую форму уравнения

В этом выражении можно выделить характеристическое рассеяние на потенциальном поле, определяя амплитуду рассеяния так, чтобы правая часть уравнения (1.20) имела вид

Тогда

Это первое борновское приближение для амплитуды рассеяния, которое получается из предположения, что амплитуда падающей волны равна амплитуде преломленной волны, т. е. что амплитуда рассеянной волны является пренебрежимо малой. Рассеянная волна образуется за счет вкладов, получающихся при непосредственном рассеянии падающей волны. Следовательно, это приближение однократного рассеяния.

Рассмотренное первое борновское приближенйе, как правило, очень удобно и полезно в случае слабо рассеивающих полей или объектов. Для более сильного рассеяния можно рассчитать последующие члены ряда Борна

используя рекуррентные соотношения

Однако если первого приближения явно недостаточно, то сходимость этого ряда обычно довольно слабая. Добавление члена второго порядка улучшает приближение в довольно ограниченном интервале рассеивающей способности, но иногда оно бывает полезно — для понимания характера необходимых изменений в случае недостаточности первого борновского приближения. Однако с ростом порядка членов быстро растет их сложность, рассчитывать их все труднее и труднее, поэтому от их оценки часто бывает лучше отказаться.