8.7. Случай Брэгга

Когда падающий пучок дифрагирует на плоскостях, параллельных или почти параллельных плоской поверхности кристалла, настолько большого, что его можно рассматривать как полубесконечный, наблюдают те дифракционные пучки, которые возвращаются в вакуум с той же стороны кристалла, на какую пучок падает. Вновь мы можем получить относительно простое решение, если предположим двухволновой случай только с одним сильным отраженным пучком, но теперь по форме результаты будут совершенно отличными от случая на прохождение.

Чтобы описать случай Брэгга, вернемся к уравнению (8.15) и решим его для данных граничных условий, не делая упрощающих предположений, приводящих к уравнениям (8.24) — (8.27), так как углы пучков по отношению к нормали к поверхности нельзя считать малыми или равными между собой. Для электронов с высокой энергией эти углы будут приближаться к и их косинусы, как правило, будут противоположны по знаку.

При отражении пучка от поверхности кристалла по знаку противоположен поэтому квадратный корень в уравнениях (8.16) и (8.17) будет мнимый для интервала значений

Фиг. 8.6. Интенсивность отражения как функция отклонения от брэгговского угла при отражении от большого совершенного кристалла (в случае Брэгга).

Сплошная линия — без поглощения; штриховая — с поглощением.

В этом интервале волновые векторы в кристалле будут иметь мнимые значения, соответствующие сильно затухающим, нераспространяющимся волнам. В отсутствие поглощения в этих пределах будет существовать полное отражение с коэффициентом отражения, резко спадающим с обеих сторон, как показано на фиг. 8.6. При наличии поглощения коэффициент отражения меньше 100% и асимметричен.

Если построить дисперсионную поверхность, то окажется, что в случае отражения поверхность кристалла почти перпендикулярна вектору Нормаль к поверхности, проходя через точку Лауэ или пересечет ветви 1 или 2 дисперсионной поверхности в двух точках или пройдет в промежутке между ветвями, давая, таким образом, мнимые компоненты волновых векторов, соответствующих экспоненциально затухающим волнам в кристалле (фиг. 8.7). Тогда для симметричного случая угловая ширина полного отражения дается шириной этого промежутка (8.35).

Фиг. 8.7. Построение дисперсионной поверхности в случае Брэгга для двух пучков, когда нормаль к поверхности проходит в промежутке между двумя ветвями.

Включение потенциалов Бете в двухволновое приближение, как в случае дифракции электронов на прохождение (см. [339]), очевидно. Однако, например, в случае прохождения через очень тонкие кристаллы, когда в дифракционный процесс включается только несколько слоев атомов, как при дифракции электронов на отражение, справедливость потенциалов Бете уже может оказаться под вопросом.

В случае дифракции электронов при высоких ускоряющих напряжениях ( на поверхностях углы рассеяния составляют примерно несколько градусов. В результате угол, образуемый падающим пучком с поверхностью будет порядка одного градуса. Проникновение этого пучка в кристалл сильно ограничено поглощением или дифракцией, когда возбуждается сильное отражение, и может составлять только несколько ангстрем. Другой важный фактор, на который нужно обратить внимание в этом случае, заключается в том, что хотя для электронов показатель преломления кристалла может быть лишь немного больше единицы, для таких малых углов падения эффекты преломления будут значительными. Волны, дифрагировавшие от плоскостей, параллельных поверхности и имеющих межплоскостные расстояния порядка 2—3 А, могут претерпеть полное внутреннее отражение и не выйти из кристалла. Дифракционные волны, проникающие в кристалл при немного больших углах, преломятся так, что на дифракционных картинах они сильно сместятся.

Поскольку дифракционные углы так малы, а эффекты преломления относительно велики, метод дифракции электронов высоких энергий на отражение чрезвычайно чувствителен к небольшим отклонениям поверхности от точной плоскости, а также к составу самых верхних слоев атомов в кристалле [62, 300]. Следовательно, если будут делаться попытки связать экспериментальные результаты с теоретическими предсказаниями, то с особой тщательностью должна быть приготовлена плоская чистая поверхность.

Существует и другая сложность. Дело в том, что даже элементарные рассмотрения показывают неприемлемость простого двухволнового приближения для любой практической экспериментальной ситуации — необходима полная -волновая динамическая трактовка [61]. То же можно сказать об использовании электронов низких энергий (от 10 до 500 эВ) с почти отвесным падением на поверхность, когда возникает существенно -волновая дифракционная ситуация с дополнительными сложностями, и поэтому здесь она рассматриваться не будет.

Однако двухволновое приближение большей частью адекватно описывает ситуацию при отражении рентгеновских лучей и нейтронов (в случае Брэгга) от поверхностей больших содершенных кристаллов. Первые результаты для непоглощающего кристалла, предсказывающие область полного отражения, получил Дарвин [108]

в 1914 г. Сравнительно недавно более полное обсуждение сделали Джеймс в 1950 г. и Бэттерман и Коул [15] в 1964 г. Согласие между предсказаниями двухволновой теории и экспериментальными результатами превосходное. Для нейтронов см. работу Голдбергера и Зейтца [162].