2.1.3. Примеры сверток

Интеграл свертки (2.4) или (2.6) довольно часто встречается в научных работах, относящихся к различным областям, и является основным выражением при интерпретации большинства экспериментальных измерений, а также существенным компонентом многих сложных теоретических разработок, таких, как методы, основанные на использовании функции Грина, в теоретической физике. Для более четкого понимания свойств свертки проанализируем более подробно интеграл (2.4). Его можно получить следующим образом: функцию умножим на функцию смещенную в начало координат в точке и обращенную так, чтобы получить Значение произведения на проинтегрируем по X, результат нанесем на график как функцию х и получим

Именно такая процедура имеет место, например, при измерении интенсивности спектральной линии сканированием с помощью детектора, имеющего в качестве входной апертуры щель конечной ширины, как показано на фиг. 2.1. Координата X может отвечать углу рассеяния света призмой или дифракционной решеткой, а распределение интенсивности обнаруживает исследуемые спектральные линии.

Распределение интенсивности в спектре измеряется путем регистрации интенсивности излучения, прошедшего сквозь щель, функция прохождения которой

для т. е. щель пропускает лишь излучение в интервале X шириной а и

отсекает все остальное излучение. Если щель находится на расстоянии интенсивность прошедшего излучения как функция X будет При этом регистрируется полная интенсивность прошедшего излучения.

Фиг. 2.1. Операция свертки. Функция интенсивности представляющая спектральную линию, умножается на функцию прохождения щели центр которой находится в точке интегрирование произведения Этих двух функций дает измеряемую интенсивность

Если ее нанести на график как функцию положения щели х, то получим

Очень резкая одиночная спектральная линия даст наблюдаемую единичную интенсивность для интервала значений х, который равен ширине щели

Для общего распределения интенсивности каждая резкая спектральная линия или каждый участок более широкой спектральной линии будет размываться функцией размытия так что регистрируемая интенсивность будет обладать менее резко выраженным пиком или будет иметь разрешение хуже, чем первоначальный спектр.

Подобным же образом размытие изображения, которое возникает из-за несовершенства линз камеры, можно описать с помощью свертки интенсивности идеального совершенного изображения с

некоей функцией Для точечного источника света идеальное изображение должно описываться дельта-функцией. С учетом размытия получим

Для объекта общего типа, состоящего из большого числа независимо испускающих точечных источников, каждый из которых дает идеальное изображение интенсивности получим

Таким образом, каждая точка исходного распределения интенсивности размывается в диск интенсивности, а перекрытие таких дисков приводит к размытию всего изображения и ухудшению его разрешения. Сказанное определяет функцию размытия как отклик системы на падающее излучение в виде дельта-функции, в данном случае падающее от точечного источника. Это лежит в основе метода функции Грина, который весьма удобен для использования в теории рассеяния и во многих других областях физики, а также для анализа характеристики электронных схем путем измерения их чувствительности к острому пику напряжения; или импульсу тока.

Замечательный пример свертки дает принцип Гюйгенса, записанный в виде формул Кирхгофа. Каждая точка фронта волны рассматривается как источник сферической волны, начальная амплитуда которой пропорциональна амплитуде падающей волны. Затем амплитуды вторичных волн складываются и дают амплитуду в плоскости наблюдения. Таким образом, функция амплитуды на начальном фронте волны рассеивается с помощью функции, которая представляет вторичную сферическую волну от точечного источника на фронте волны.

В явной форме мы записали это как интеграл свертки уравнения (1.25) для дифракции Френеля в малоугловом приближении. Это выражение можно переписать в виде

Функцию в квадратных скобках можно назвать функцией распространения, или волновой функцией точечного источника,

Подобным же образом с помощью свертки можно записать результат первого борновского приближения, приведенный в формуле (1.19). Интеграл, который дает единичную амплитуду рассеяния, принимает вид

В этом выражении первая функция представляет падающую волну, модулированную потенциальным полем Эта функция свертывается с амплитудой, возникающей из-за наличия точечного источника, а именно с амплитудой сферической волны, выходящей из начала координат. Таким образом, уравнение (1.19) или (2.11) попросту показывает, что наблюдаемая амплитуда является суммой амплитуд сферических волн от всех точек рассеивателя, а амплитуда рассеяния от каждой точки пропорциональна произведению амплитуды падающей волны и значения потенциальной функции в этой точке.