ГЛАВА 2. Фурье-преобразования и свертки

2.1. Предварительные понятия

2.1.1. Дельта-функция и непрерывность

В этой главе мы постараемся познакомить читателя с математическим аппаратом, который необходим для понимания значительной части последующего материала. Большинство теорий кинематической дифракции в той или иной мере используют фурье-преобразование. Одним из наиболее важных его свойств является свертка, или интеграл свертки. При получении как фурье-преобразования, так и свертки удобно использовать дельта-функцию, поэтому прежде всего определим эту функцию и рассмотрим ее свойства.

При этом, как и далее, мы не будем стремиться к вполне строгому математическому изложению. Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают в математическом смысле достаточно хорошим поведением, чтобы их можно было использовать с определенным физическим смыслом. Дельта-функции, равно как и другие разрывные функции, используем лишь для удобства. Когда мы хотим представить реальные ситуации, в которых разрыва непрерывности быть не может, разрывные математические функции мы используем лишь как «стенографическое» обозначение отвечающих физической реальности непрерывных функций, которые мы аппроксимируем.

Например, дельта-функция Дирака в точке а определяется так:

и

Дельта-функцию в точке можно рассматривать как предел множества действительных непрерывных функций, подобных функциям Гаусса

При этом вместе с величиной а максимальное значение функции Гаусса стремится к бесконечности, полуширина стремится к нулю, в то время как интеграл этой функции всегда равен единице. Отсюда следует, что дельта-функция удобна для описания любой функции, имеющей форму пика с пренебрежимо (в эксперименте) малой полушириной.

Подобным же образом дельта-функция с используется для описания резкого пика, интеграл которого равен с- Для более ясного понимания или доказательства различных соотношений удобно определять дельта-функцию как предел ряда функций. Например,

Можно определить дельта-функцию в двух измерениях которая равна нулю всюду, кроме точки и для которой

Подобным же образом можно определить дельта-функцию для любого числа измерений или , где — векторы n-мерного пространства.

Заметим, что в двух измерениях является линией, а в трех измерениях — плоскостью.

Более подробно дельта-функции рассматриваются, например, в работах Лайтхилла [287] или Арзака [7].

Отметим другое важное определение дельта-функции

которое встретится позже в связи с рассмотрением фурье-преобразований [см. (2.33) — ]