10.5. Вычислительные методы

Для того чтобы получить численное решение матричного уравнения (10.7), подчиняющееся граничным условиям, для диагонализации матрицы можно использовать любую из стандартных программ, имеющихся для современных цифровых компьютеров. Среди других использовались программы, основанные на методах Якоби и Когда элементы матрицы комплексны, задача при наличии поглощения сильно усложняется, если не сделаны упрощающие предположения, основанные на относительной малости мнимых компонент. Однако именно для решения полной задачи нецентросимметричного кристалла с поглощением количество вычислений не находится за пределами возможностей средней вычислительной машины, для которой задача 50 пучков, включающая диагонализацию матрицы занимает несколько минут [140].

Фиг. 10.5. Изменение периодичности осцилляций интенсивности пучков для ориентация, как функция числа пучков, вводимых в расчет. (Согласно работе Фишера [137].)

Из диагонализованной матрицы можно получить собственные значениях и компоненты собственного вектора Подставив их в (10.18), можно очень быстро вывести амплитуды дифрагированных пучков при любом значении толщины кристалла

Поскольку время, которое требуется для вычисления, очень быстро растет с числом рассматриваемых дифракционных пучков, представляет интерес определение минимального числа пучков, необходимого для того, чтобы получить требуемую степень точности. Это число на практике будет широко меняться в зависимости от размера элементарной ячейки в проекции на направление пучка (т. е. от плотности точек рассматриваемой плоскости обратной решетки), от длины волны электронов и от атомных номеров присутствующих атомов.

Чтобы дать указания на этот счет, Фишер [137] провел вычисления для случая а на фиг. 10.3 с падающим пучком, точно параллельным оси с кубического гранецентрированного неупорядоченного сплава Для этого материала точки обратной решетки рассматриваемой плоскости расположены относительно широко на угловом расстоянии одна от другой, но средний атомный номер не очень высокий. Общие характеристики распределений интенсивностей, как показано на фиг. 10.4, были

получены менее чем для 10 пучков, но на этой стадии относительные интенсивности были сильно искажены.

Периодичность осцилляций интенсивности падающего пучка, или экстинкционное расстояние, использовалась для определения точности вычисления; на фиг. 10.5 вычерчена кривая зависимости периодичности осцилляций от числа рассматриваемых пучков для в ориентации (120). В случае, показанном на фиг. 10.4, периодичность уменьшается от значения порядка 128 А для простейшего -волнового случая до предельного значения около 90 А. При этой периодичности для получения точности в 1 или 2% необходимо взять соответственно 40 или 50 пучков.

Применительно к общему случаю эти частные случаи высокой симметрии не обязательно дают надежные указания, но результаты вычислений для других ориентаций, такие, как показанные на фиг. 10.6 (что соответствует случаю в на фиг. 10.3), свидетельствуют, что требования к точности интенсивностей достаточно хорошо определяются по кривой фиг. 10.5.

Фиг. 10.6. Интенсивности, вычисленные для отражений в виде функции Толщины для падающего пучка, слегка отклоненного от с-оси г. ц. к. сплава — Аи (представленного на фиг, 10.3 и 10.4), чтобы дать пересечение сферы Эвальда, обозначенное буквой в на фиг. 10.3.

Ожидают, что при сравнимой точности число пучков будет изменяться пропорционально квадрату среднего размера элементарной ячейки и атомному номеру. Однако такие указания весьма приближенны. В любом отдельном случае единственный путь убедиться, что число взятых пучков достаточное, — это увеличить число пучков на значительную величину и удостовериться, что такое увеличение не приводит к заметному отличию интенсивностей пучков, которые мы рассматриваем.

Разумеется, при выборе дифракционных пучков, которые необходимо включить в вычисления, желательно заранее знать вид ожидаемой дифракционной картины. Например, для кристалла, отклоненного от высокосимметричной ориентации лауэвская зона пятен, даваемых пересечением сферы Эвальда с соответствующей плоскостью обратной решетки, должна содержать сильные отражения, которые следует включать в расчет. В случае сложных структур важно использовать широкие сильные рефлексы, возникающие от подрешетки структуры.

Как упоминалось выше, Стерки [365] использовал метод матрицы рассеяния [см. (10.27)] для вычисления интенсивностей дифракционных пучков. Матрица рассеяния для кристаллов с малой толщиной возведенная в степень дает рассеяние от кристалла толщиной При возведении матрицы в более высокие степени быстро накапливаются ошибки и требования к точности в исходной матрице для тонкого кристалла повышаются. Необходимо проявлять особую тщательность, чтобы быть уверенным в достаточности числа включенных пучков и точности вычислений для исходного расчета.

Вычисление, основанное на уравнениях Хови-Уилана, включает в себя последовательное интегрирование амплитуд при углублении в кристалл. Это можно сделать, используя либо цифровые, либо аналоговые компьютеры. Использование аналоговых компьютеров, как это описано Джонсоном [234], имеет значительные преимущества в скорости и гибкости, хотя число пучков, которые могут быть рассмотрены, ограничено количеством цепей, имеющихся в наличии.

В этом типе вычислений прохождение пучков в -направлении представлено временной переменной. Для каждого рассматриваемого пучка используется одна цепь, состоящая из двух интеграторов для расчета действительной и мнимой частей амплитуды элементов вектора-столбца инверторов для получения отрицательных величин и потенциометров для представления ошибок возбуждения. Взаимодействие между пучками осуществляется соединением цепей через потенциометры, представляющие действительную и мнимую части структурных амплитуд Компьютер работает так, что одна секунда реального времени может, соответствовать, например, прохождению через кристалл

Фиг. 10.7. Схема, иллюстрирующая предположения колонкового приближения.

толщиной 100 А. Изменения интенсивности пучка наблюдают на экране осциллографа.

Чтобы учесть нарушения в кристалле за счет смещений атомных плоскостей на векторы фазовый множитель в уравнении (10.35) можно ввести с помощью подходящих функциональных генераторов. Таким способом можно воспроизвести многие случаи, представляющие интерес для электронной микроскопии дефектов. Скорость, с которой можно выполнить и вывести на печать вычисления достаточной точности, говорит о том, что аналоговый метод может оказаться очень полезным в более точных расчетах на цифровых вычислительных машинах.