8.2. Теоретические приближения
Теоретические приближения, которые были использованы для формулировки динамической теории дифракции в кристаллах, можно разделить на два общих класса: приближения, основанные на квантовомеханической записи волнового уравнения в кристаллической решетке как дифференциального уравнения, и приближения, базирующиеся на интегральной формулировке. Приближения для дифракции электронов на основе квантовой теории поля сделали Оцуки и Янагава [323, 324], а современное приближение в рентгеновской дифракционной теории предложил, например, Курияма [268, 269], но здесь эти приближения обсуждаться не будут.
Методы интегральных уравнений следуют из идей, упомянутых в гл, 1. Можно считать, что они дают математическое описание прохождения луча через кристалл. Падающая плоская волна последовательно рассеивается в кристалле, и многократно рассеянные компоненты суммируются согласно их относительным амплитудам и фазам, образуя выходящие волны. При использовании рядов Борна уравнения (1.17) и (1.22) можно интерпретировать как описание рассеяния последовательными элементами объема. Падающая волна (член нулевого порядка) рассеивается каждым элементом объема кристалла, что дает амплитуду однократно рассеянной волны (член первого порядка), которая вновь рассеивается каждым элементом объема, что дает дважды рассеянную волну, и т. д. Это приближение для дифракции электронов использовал Фудзивара [149]. Хотя сходимость рядов Борна заведомо плохая, Фудзивара смог получить решения в виде рядов для рассеяния на кристалле. Эти решения позволили сделать важные общие выводы, включая характер модификаций теории рассеяния, требуемых при рассмотрении релятивистских эффектов для падающих электронов с высокой энергией [150].
Для определенного типа среды или для электронов с высокой энергией (или в случаях рассеяния на малые углы) можно
воспользоваться тем, что практически волна распространяется только вперед, и рассматривать рассеяние последовательными плоскостями бесконечно малой толщины. В этом заключалось приближение Каули и Муди [71 ], использовавших представление о прохождении через бесконечное число двумерных объектов, как изложено в разд. 3.5.
Высказывалось мнение, правда недостаточно обоснованное, что этот подход напоминает первую трактовку рассеяния рентгеновских лучей кристаллами, данную Дарвином [108], и аналогичный метод, использованный при расчете интенсивностей для электронно-микроскопических изображений, который предложен Хови и Уиланом [213]. В этих трактовках рассматривается дифракция падающих плоских волн на отдельных атомных плоскостях, дающая ряд дифракционных пучков, т. е. предполагается, что на межатомных расстояниях выполняются условия дифракции Фраунгофера, а не Френеля. В первоначальной трактовке Дарвина предполагалось, что падающая плоская волна отражается от атомной плоскости, давая лишь один дифракционный луч. Такое предположение оправдано с точки зрения его целесообразности и приемлемости, но поскольку мы знаем, что двумерная решетка приводит ко многим дифракционным пучкам, было бы уместным, по-видимому, более полное подтверждение его с помощью 
-волновой дифракционной теории. Более полную и современную оценку приближения Дарвина для рентгеновской дифракции выполнили Бори [33] и Уоррен [388], а приближение для электронной дифракции и микроскопии описали Хирш и др. [195].
Дифференциальные уравнения в исходной формулировке рентгеновской дифракционной теории использовали Эвальд [126,127] и Лауэ [282] и в первоначальной формулировке теории дифракции электронов — Бете [22]. Первые расчеты в этом приближении выполнили Захариасен [401], Джеймс [232], Отье [9] и Бэттерман и Коул [15] для рентгеновских лучей и Морс [312], Хирш и др. [195], Хейденрейх [189] и Камбе и Мольер [243] для электронов. Теория Бете была выражена в матричной форме (см. [145, 318, 364]), что привело к разработке метода матрицы рассеяния [319, 365], который имеет много общего с методами интегральных уравнений в том смысле, что прохождение электронной волны через последовательные слои кристалла может быть представлено повторным применением матрицы рассеяния. Другой подход, который имеет отчасти двойственный характер, принадлежит Турнари [374, 375]. Подробное рассмотрение существа и взаимосвязей указанных теорий дано в работе Гудмана и Муди [169].
Для наших целей обсуждение динамических эффектов удобно начать с теории Бете. Хотя эта теория рассматривает скалярные электронные волны, по аналогии она, если учесть эффекты поляризации, позволяет выявить рентгеновские дифракционные
эффекты. Кроме того, с ее помощью можно получить непосредственно результаты в простом двухволновом случае, который достаточен для описания большинства динамических эффектов, наблюдаемых при дифракции рентгеновских лучей и нейтронов, а для многих явлений, характерных для дифракции электронов, она дает разумное первое приближение.
