3.4.2. Контраст при дефокусировке
Контраст при дефокусировке является фазовым контрастом в самой общей форме; особенно это касается электронной микроскопии. Хорошо известен экспериментальный факт, состоящий в том, что контраст минимален вблизи точного фокуса. Он возникает при дефокусировке и обращается (меняет знак) при прохождении через фокус.
Рассмотрим распределение амплитуды на плоскости, находящейся на расстоянии А от объекта, которое записывается как
Вместо уравнения (3.15) более удобно использовать фурье-преобразование функции 
определяемое выражением
Свертка в выражении (3.19) дает
Используя табличный интеграл (1.28), получаем
Тогда если 
достаточно мало, то можно положить
и получаем
Соотношение (2.28) предполагает, что интеграл в этом выражении может соответствовать второй производной и в самом деле
однако прямое дифференцирование дает
где штрихи представляют производные по 
Следовательно, (3.22) будет записываться как
Тогда интенсивность несфокусированного объекта вплоть до величин первого порядка малости 
будет равна
Таким образом, контраст зависит от второй производной фазовой функции 
он обращается при изменении знака дефокусировки 
Как было замечено ранее, расфокусировка эквивалентна изменению фазы дифракционной картины в задней фокальной плоскости на множитель, пропорциональный 
Влияние аберрации линзы можно представить изменением фазы дифракционной картины с помощью функции, записанной в виде степенного ряда по четным порядкам и, а дефокусировка отвечает аберрации первого порядка, связанной с членом второго порядка относительно и. Члены четвертого порядка включают сферическую аберрацию третьего порядка.
Если линза точно сфокусирована, то изменения фазы, связанные с этими членами более высоких порядков относительно и, останутся и обеспечат некоторый амплитудный контраст. Эти фазовые сдвиги даже в большей степени, чем для членов второго порядка дефокусировки, будут малыми для малых и, однако они будут быстро возрастать для больших и, так что в контраст изображения наибольший вклад будет давать внешняя часть дифракционной картины. Следовательно, можно ожидать флуктуаций контраста при быстрых изменениях 
Метод, использованный выше в выражениях (3.20) — (3.24), можно обобщить, включив в рассмотрение члены более высоких порядков по и, но на практике результат содержит комбинацию производных высших порядков от 
которые не так легко представить себе наглядно и которые гораздо менее полезны.
Для несфокусированных изображений изменения фаз, вызванные сферической аберрацией, либо увеличивают, либо уменьшают фазовые сдвиги от дефокусировки в зависимости от направления дефокусировки и либо способствуют, либо затрудняют получение фазового контраста изображения. Такое рассмотрение очень важно для электронной микроскопии тонких объектов; более подробно мы его обсудим в гл. 13.
