2.3.17. Ряд круглых отверстий

При переходе к двум измерениям изложенные выше результаты можно использовать для расчета дифракционных картин, полученных на многих простых двумерных распределениях. Однако при использовании дельта-функций и сверток важно четко различать дельта-функции и свертки для одного и для двух измерений.

В качестве примера рассмотрим ряд круглых отверстий, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга в непрозрачном экране. В этом случае функция прохождения имеет вид

где через обозначена дельта-функция в точках — функция прохождения для круглой апертуры в соответствии с определением, данным выше в разд. 2.3.8 (см. также фиг. 2.7).

Фурье-преобразование относительно х набора дельта-функций таково:

а фурье-преобразование относительно у составляет единицу. Следовательно, фурье-преобразование относительно х и у представляет собой набор прямых линий, параллельных оси и расположенных на оси и на расстояниях друг от друга.

Фиг. 2.7. Дифракционная картина от ряда равноудаленных круглых отверстий в непрозрачном экране. Линии уширены в соответствии с их интенсивностью.

Такое распределение модулируется в результате умножения на фурье-преобразование функции

где А — диаметр отверстий,

Это дает нам набор линий различной интенсивности, как показано на фиг. 2.7, где ширина линии указывает ее относительную интенсивность.

Рассмотренный результат имеет прямое отношение к радиоастрономии. Обычный радиоинтерферометр для детектирования радиоизлучения от далеких радиозвезд состоит из ряда равноудаленных параболических антенн «тарелок», каждая из которых суммирует амплитуды падающего излучения по всей сшей круглой апертуре. Применяя теорему взаимности, можно видеть, что суммарная амплитуда, получающаяся в результате когерентного сложения амплитуд, полученных от всех тарелок, будет в точности совпадать с амплитудой, которая наблюдалась бы на отдаленной радио-звезде, если на тарелки «сзади» направить плоскопараллельный пучок. Таким образом, распределение амплитуды, измеряемой

интерферометром при движении радиозвезды по небу будет соответствовать следу от траектории радиозвезды на дифракционной картине фиг. 2.7.