3.5. Многокомпонентные системы

Рассмотрение оптических систем в малоугловом приближении воспроизводит большинство свойств реальных оптических систем и является очень хорошим приближением для электронной оптики систем, в которых используются электроны средних и высоких энергий, поскольку рассеяние атомами электронов с такими энергиями представляет собой существенно малоугловой эффект. В разд. 3.3 мы показали, как в таком приближении записывать уравнения для дифракционных картин, изображений или распределений амплитуды в любой плоскости для простых систем с идеально тонкими линзами. Обобщим теперь это рассмотрение на многокомпонентные системы. Для краткости и удобства ограничимся лишь одномерными объектами. Возможность обобщения нашего рассмотрения на двумерные объекты очевидна.

Излучение от источника с распределением амплитуды проходит через ряд плоских объектов с функциями прохождения Распространение излучения на расстояние от до объекта представляют сверткой с функцией распространения (фиг. 3.4). В малоугловом приближении

Фиг. 3.4. Схема, иллюстрирующая описание распространения волны в многокомпонентной системе.

а пренебрегая членом получаем фурье-преобразование функции в виде

Тогда амплитуда в плоскости наблюдения, которая может рассматриваться как плоскость объекта, запишется в виде

где для большей ясности скобки пронумерованы. Содержимое скобки представляет собой амплитуду волны, падающей на объект. Эта амплитуда умножается на функцию прохождения а произведение свертывается с

Используя теоремы свертки и умножения, запишем фурье-преобразование (3.31) в виде

где снова умножение делается до свертки. Эта формула представляет дифракционную картину Фраунгофера, которая возникает от излучения, исходящего от объектов.

В случае малоуглового приближения, когда используются (3.29) и (3.30), выражение для амплитуды (3.31) или для дифракционной

картины (3.32) можно записать с помощью любых комбинаций функций в действительном пространстве или с помощью функций пространства Фурье Это вытекает из особых свойств комплексных экспоненциальных функций по отношению к фурье-преобразованию и свертке.

Таким образом, имеем

Подобным же образом

Итак, любой член в скобках выражений (3.31) или (3.32) можно свертывать так, что функции могут взаимно замещаться. Это особенно ценно, например, для периодических объектов, для которых более удобно пользоваться не непрерывными функциями, а фурье-преобразованием, набором взвешенных дельта-функций. Другим удобным соотношением является

Используя (3.34) для модифицирования члена, заключенного в скобки, это выражение можно переписать так:

Подобным же образом

и т.д. Такие соотношения используют, когда функцию прохождения умножают на волну, падающую от точечного источника, или когда функция прохождения модифицирует функцию прохождения идеальной тонкой линзы

В пределе, когда число двумерных объектов стремится к бесконечности, а расстояние между ними стремится к нулю, выражения (3.31) или (3.33) можно использовать для получения строгой формулы рассеяния для любого трехмерного объекта [310]. Для представления рассеяния от трехмерного объекта с любой желаемой степенью точности число плоских объектов можно сделать достаточно большим, а расстояние между ними достаточно малым. Пример такого подхода будет дан при рассмотрении рассеяния электронов кристаллами

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)