ГЛАВА 11. Метод «физической оптики»

11.1 Распространение электронов в кристаллах

11.1.1. Прохождение через тонкие слои

В гл. 3 мы рассматривали прохождение падающей волны через двумерные фазовые и амплитудные объекты и распространение ее между такими объектами, используя представление дифракции Френеля. Действие двумерного объекта на падающую волну было описано умножением на функцию прохождения и прохождение через пространство — сверткой с функцией распространения Применение к рассмотрению трехмерных объектов дано в уравнении (3.31) для реального пространства и в уравнении (3.32) для обратного пространства.

Приемлемость этого подхода к рассмотрению рассеяния электронов в кристаллах была подтверждена массой данных, свидетельствующих о том, что для очень тонких монокристаллов могут возникать одновременно сотни дифракционных пучков и дифракционные условия более близки к условиям для двумерной фазовой решетки, чем к условиям для неограниченной периодической структуры, являющейся отправной точкой теории Бете.

В своей формулировке -волновой дифракционной теории Каули и Муди описывают прохождение электронов через образец как прохождение через ряд двумерных фазовых и амплитудных объектов, разделенных расстояниями Считают, что полное изменение фазы и амплитуды электронной волны в слое образца толщиной происходит в одной плоскости. Распространение волны от одной такой плоскости к следующей представляют как дифракцию Френеля в вакууме. Было показано [310], что в предельном случае, когда толщина слоя стремится к нулю и число слоев стремится к бесконечности, так что где толщина образца, эта форма описания становится строгим представлением процесса рассеяния, полностью согласующимся с более общепринятыми квантовомеханическими описаниями.

Изменение фазы электронной волны, прошедшей через тонкий слой, зависит от значения показателя преломления

так что отличие фазы по отношению к волне в вакууме для слоя толщиной при равно

Мы приняли отношение равным постоянной взаимодействия о, которая меняется с напряжением согласно формуле (10.2). Можно также ввести функцию поглощения зависящую от условий рассматриваемого эксперимента.

Тогда функцию прохождения для плоскости представляющей слой, можно записать как

То, что в члене, содержащем потенциал, стоит отрицательный знак, согласуется с использованием для плоской волны формулы Каули и Муди [71] использовали другой знак и, таким образом, невольно получили теорию дифракции позитронов.

В пределе, когда толщина слоя стремится к нулю, можно записать

применив преобразование Фурье в двух измерениях, получим

где

и

где - фурье-преобразовання соответственно. Для удобства можно использовать «кинематическую» структурную амплитуду

так что

Дифракция Френеля волны при прохождении расстояния дается сверткой с функцией распространения, которая в малоугловом приближении равна

или в обратном пространстве —

11.1.2. Трехмерные объекты

Прохождение через трехмерный объект в предельном случае при стремящемся к бесконечности, дается уравнением (3.31), записанным только в одном измерении:

где умноженное на -скобку, представляет волну, покидающую объект, и эта волна распространяется к плоскости наблюдения, что описывается с помощью свертки с Если излучение, падающее на первый слой объекта, который имеет функцию прохождения плоская волна, падающая под углом а к нормали к плоскости слоев, свертка заменяется на

которое умножается на

Часто бывает удобно, в особенности при дифракции на кристаллах, работать с выражением в обратном пространстве, которое дается в одном измерении уравнением (3.32), взятым в предельном случае, а именно

Для плоской падающей волны заменяется на

Обе формулы (11.12) и (11.14) пригодны для нахождения волновой функции около или вблизи выходной поверхности объекта и поэтому полезны для нахождения распределений амплитуд и интенсивности в идеальных электронно-микроскопических изображениях. Для этой цели дифракционные амплитуды из (11.14) получаются путем преобразования Фурье.

Амплитуды дифракционных пучков от объекта даются непосредственно формулой (11.14) с конечным фазовым множителем которым обычно пренебрегают; их можно также получить с помощью преобразования Фурье из (11.12). Другие формы этих

выражений, включающие некоторые функции на прохождение в реальном пространстве и некоторые — в обратном пространстве, в специальных случаях можно записать с помощью соотношений