7.3.4. Тепловые колебания — модель Эйнштейна

В заключение, как пример зависящего от времени возмущения решетки, рассмотрим случай простой одноатомной решетки, в которой все атомы колеблются независимо вокруг своих средних положений в решетке. В гармоническом приближении можно предположить, что усредненная во времени функция электронной плотности вблизи каждой точки решетки получается при размытии атома гауссовой функцией.

В одномерном случае для простоты запишем

Тогда

и

Таким образом, если среднеквадратичное отклонение атома от своего положения в решетке, то интенсивности резких отражений уменьшаются пропорционально фактору Дебая-Валлера .

Слегка изменяя проделанную нами ранее процедуру, найдем теперь диффузное неупругое рассеяние как разницу между общим рассеянием и упругим рассеянием, которое получается от усредненной структуры.

Если все атомы размываются с помощью свертки с гауссовой функцией, используемой в (7.19), и при этом нет корреляции между колебаниями отдельных атомов, то распределение длин межатомных векторов между двумя атомами будет зависеть от размытия положений обоих атомов. Тогда пики Паттерсона будут размываться соответственно свертке

Это справедливо для всех пиков Паттерсона, за исключением начального, поскольку вектор от центра атома до самого себя всегда равен нулю (каждый атом «видит» себя в покое). Таким образом, общую усредненную во времени функцию Паттерсона можно

Фиг. 7.4. Одномерные диаграммы, иллюстрирующие функцию Паттерсона и соответствующие распределения рассеивающей способности для атомных колебаний, не имеющих корреляции (модель Эйнштейна).

записать в виде

а рассеивающую способность — в виде

Здесь первый член отвечает упругому рассеянию от усредненной решетки, как было показано в уравнении (7.20). Второй член представляет диффузное неупругое рассеяние. Его форма иллюстрируется фиг. 7.4.

Как мы видели для случая статических смещений атомов из своих средних положений в решетке, корреляция между смещениями атомов будет модулировать диффузное фоновое рассеяние. Если соседние атомы стремятся двигаться в одном и том же направлении синхронно, как при акустических колебаниях решетки, то диффузное рассеяние будет давать максимумы в узлах обратной решетки.