11.3. Общее решение с двойным суммированием

11.3.1. Общее решение в виде рядов

Муди [83] показал, что выражение (11.39) можно переписать в виде

где через обозначены пары индексов Оператор представляет все операции суммирования по индексам и умножения на величины в выражении (11.38). Он действует нафункции которые являются чисто геометрическими, т.е. зависят от длины волны, размеров элементарной ячейки и размеров кристалла, но не зависят от амплитуд рассеяния. Разложение экспонент в (11.38) в ряд и группировка членов дают

где функции являются полными однородными симметричными полиномами степени

Каждый полином только один раз содержит каждую возможную при заданном показателе степени комбинацию переменных независимо от их порядка. Ошибки возбуждения в этих выражениях определяются так же, как в (11.26), и, следовательно, зависят от всех индексов для всех процессов рассеяния вплоть до

Тогда в подробной записи (11.41) имеет вид

Добавляя далее соответствующие операторы получаем некий двумерный набор членов, в котором строки отвечают увеличению а столбцы — увеличению Этот двумерный набор можно затем просуммировать рядом способов. Например, мы можем суммировать строки. Для первой строки это дает

что идентично выражению (11.33), если забыть о нулевом члене. Аналогично суммирование каждой горизонтальной строки дает ряды многократного рассеяния с которых мы начинали.

Фудзимото [145] вывел разложение в ряд по возрастающим степеням толщины кристалла Его можно воспроизвести, проведя суммирование членов (11.43), лежащих на диагоналях.