60. Наибольшее и наименьшее значения функций.

Пусть рассматриваются значения функции при значениях независимой переменной из промежутка (а, b), т. е. при , и пусть требуется найти наибольшее и наименьшее из этих значений. При указанном условии функция f(x) будет достигать наибольшего и наименьшего значения [35], т. е. соответствующий этой функции график будет иметь в упомянутом промежутке наибольшую и наименьшую ординаты.

Согласно приведенным выше правилам, мы сможем найти все максимумы и минимумы функции, заключающиеся внутри промежутка . Если функция имеет свою наибольшую ординату внутри этого промежутка, то эта наибольшая ордината будет, очевидно, совпадать с наибольшим максимумом функции внутри промежутка Но может оказаться, что наибольшая ордината находится не внутри промежутка, а на одном из его концов или Поэтому для нахождения, например, наибольшего значения функции недостаточно сравнить все ее максимумы внутри промежутка и взять наибольший, но необходимо также принять во внимание и значение функции на концах промежутка. Точно так же для определения наименьшего значения функции надо взять все ее минимумы, лежащие внутри промежутка, и граничные значения функции при Заметим при этом, что максимумы и минимумы могут вовсе отсутствовать, а наибольшее и наименьшее значения у непрерывной функции в ограниченном промежутке обязательно будут существовать.

Отметим некоторые частные случаи, когда нахождение наименьших и наибольших значений производится наиболее просто. Если, например, функция f(x) возрастает в промежутке то, очевидно, при она будет принимать наименьшее, а при наибольшее значение. Для убывающей функции картина будет противоположной.

Рис. 63.

Если функция имеет внутри промежутка один максимум и не имеет минимумов, то этот единственный максимум и дает наибольшее значение функции (рис. 63), так что в этом случае для определения наибольшего значения функции вовсе не надо определять значений функций на концах промежутка. Точно так же, если функция имеет внутри промежутка один минимум и не имеет вовсе максимумов, то упомянутый единственный минимум и дает наименьшее значение функции. Указанные только что обстоятельства будут иметь место в первых из четырех изложенных ниже задач.

1. Дан отрезок длины l. Требуется разделить его на две часта так, чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наибольшей.

Пусть длина одной из частей отрезка, длина другой его части. Принимая во внимание, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон, видим, что задача сводится к нахождению тех начений при которых функция

достигает наибольшего значения в промежутке изменения

Составим производные первого и второго порядка

Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение которому и соответствует максимум, так как постоянно отрицательна. Таким образом, наибольшая площадь будет у квадрата со стороною

Рис. 64.

2. Из круга радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга склеивается конус. Требуется определить угол вырезанного сектора так, чтобы объем конуса был наибольшим.

Примем за независимую переменную не угол вырезанного сектора, а его дополнение до , т. е. угол оставшегося сектора. При значениях близких к 0 и объем конуса будет близок к нулю, и, очевидно, внутри промежутка будет существовать такое значение при котором этот объем будет наибольшим.

При склеивании оставшейся части круга в конус (рис. 64) получится такой конус, у которого образующая равна , длина окружности основания равна радиус основания и высота

Объем этого конуса будет

При отыскании наибольшего значения этой функции мы можем не обращать внимания на постоянный множитель Оставшееся произведение положительно и, следовательно, будет достигать наибольшего значения при тех же значениях при которых достигает наибольшего значения его квадрат. Таким образом, мы можем рассматривать функцию

внутри промежутка ). Составляем первую производную

Она существует, при всех значениях Приравнивая ее нулю, получим три значения:

Первые два значения не лежат внутри промежутка . Остается единственное значение лежащее внутри этого промежутка; но выше мы видели, что наибольшее значение внутри этого промежутка должно встретиться, а следовательно, и не исследуя значения 3, можем утверждать, что ему будет соответствовать наибольший объем конуса.

3. Прямою L плоскость разделена на две части (среды) I и II. Точка двигается в среде I со скоростью в среде II — со скоростью По какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть из точки А среды I в точку В среды II?

Пусть перпендикуляры из точек А и В на прямую L. Введем следующие обозначения: и на прямой L будем отсчитывать абсциссы в направлении

Рис. 65.

Ясно, что как в среде так и в среде II путь точки должен быть прямолинейным, но путь по прямой АВ не будет, вообще говоря, „скорейшим путем". Итак, „скорейший путь будет состоять из двух прямолинейных отрезков AM и MB, причем точка М должна лежать на прямой L. За независимую переменную выберем абсциссу точки М: Время наименьшее значение которого ищется, определится по формуле

в промежутке Составим производные первого и второго порядков:

Обе производные существуют при всех значениях всегда имеет знак Следовательно, возрастает в промежутке и не может обратиться в нуль более одного раза. Но

и

а потому уравнение

имеет единственный корень между 0 и с, которому соответствует единственный минимум функции так как . Абсциссы 0 и с соответствуют точкам а потому искомая точка М будет находиться между точками что можно было бы показать и из элементарных геометрических соображений.

Поясним геометрический смысл полученного решения. Обозначим через углы, составленные отрезками и ВМ с перпендикуляром, восставленным из точки М к L. Абсцисса искомой точки М должна обращать Б пуль , т. е. должна удовлетворять уравнению

которое можно переписать так:

или

„скорейший путь" будет тот, при котором отношение синусов углов а и будет равно отношению скоростей в средах . Результат этот дает нам известный закон преломления света, и, следовательно, преломление света совершается так, как будто луч света выбирает „скорейший путь" из точек одной среды в точки другой.

4. Положим, что экспериментально определяется величина одинаково тщательно произведенных наблюдений дают для нее значений

неодинаковых ввиду неточности инструментов. „Наиболее вероятным" значением величины будем считать то, при котором сумма квадратов ошибок будет наименьшей. Таким образом, нахождение этого значения приводится к нахождению из условия наименьшего значения функции

в промежутке . Составляем производные первого и второго порядков

Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение

которому будет соответствовать минимум ввиду положительности второй производной. Таким образом „наиболее вероятным значением х является среднее арифметическое значений, полученных из наблюдений.

5. Найти кратчайшее расстояние точки М до окружности.

Примем за начало координат центр окружности О, за ось ОХ — прямую ОМ. Пусть и пусть R есть радиус окружности. Уравнение окружности будет

а расстояние точки М с координатами до любой точки окружности

Будем искать наибольшее значение квадрата этого расстояния. Подставив вместо его выражение из уравнения окружности, мы получим функцию

где независимая переменная может изменяться в промежутке Так как первая производная

отрицательна при всех значениях то функция убывает и достигает, следовательно, наименьшего значения при на правом конце промежутка.

Кратчайшим расстоянием будет длина отрезка РМ (рис. 66).

6. В прямой круговой конус вписать прямой круговой цилиндр (с основанием лежащим в основании конуса) так, чтобы его полная поверхность была наибольшей.

Рис. 66.

Рис. 67.

Обозначим радиус основания и высоту конуса буквами R и H, а радиус основания и высоту цилиндра-—буквами и h. Функция, наибольшее значение которой ищется, будет в данном случае

Переменные величины и h связаны между собой тем условием, что цилиндр вписан в данный конус. Из подобия треугольников ABD и AMN имеем (рис. 67):

откуда

Подставляя это значение h в выражение для S, получим

Таким образом, S оказывается функцией одной независимой переменной , которая может изменяться в промежутке . Составим производные первых двух порядков:

Приравнивая нулю получим для одно значение

Для того чтобы это значение находилось внутри промежутка необходимо выполнение неравенств

Первое из этих неравенств равносильно тому, что Н должно быть больше R. Умножая обе части второго неравенства на положительную величину получим

При выполнении этого условия имеет знак (—); значению (2) соответствуют единственный максимум функции S и наибольшая величина поверхности цилиндра. Эту величину можно легко определить, подставляя значение из (2) в выражение для S.

Предположим теперь, что значение (2) не лежит внутри промежутка т. е. что не выполнено одно из неравенств (3). При этом могут представиться две возможности: или НR или но . Обе они могут быть охарактеризованы одним неравенством

Преобразуем выражение для

Из этого выражения видно, что при выполнении условия (4) при т. е. функция S возрастает в промежутке а потому достигает наибольшего значения при При этом значении , очевидно, и полученное решение можно рассматривать как сплющенный цилиндр, основание которого совпадает с основанием конуса и вся поверхность которого приводится к