3. Методы хорд и касательных.

К числу широко распространенных приближенных методов решения уравнения относятся метод хорд и метод касательных, каждый из которых является одним из конкретных вариантов метода итераций.

Прежде всего рассмотрим метод хорд. Пусть искомый корень уравнения

изолирован на некотором сегменте Предположим, что функция имеет на сегменте монотонную и непрерывную производную, сохраняющую определенный знак.

При этом возможны четыре случая: 1°. не убывает и положительна на не возрастает и отрицательна на не возрастает и положительна на не убывает и отрицательна на

Ради определенности подробно рассмотрим случай 1°.

Рассмотрим вместо уравнения (11.6) уравнение вида

Легко видеть, что изолированные на сегменте корни уравнений (11.6) и (11.7) совпадают, и поэтому на сегменте эти уравнения эквивалентны. Для решения уравнения применим к этому уравнению метод итераций, выбрав за нулевое приближение точку а. Как обычно, определим последовательность по рекуррентной формуле

Докажем, что последовательность сходится к искомому корню с. Для этого, в силу утверждения 1 из достаточно доказать, что все лежат на сегменте и что последовательность сходится.

Применяя метод индукции, докажем, что все лежат на сегменте точнее, на сегменте , где с — искомый корень. Так как лежит на сегменте , то для проведения индукции достаточно, предположив, что лежит на указанном сегменте, доказать, что также лежит на этом сегменте. Поскольку

то, учитывая, что будем иметь

Применяя к выражениям в квадратных скобках формулу Лагранжа, получим

где

В силу неубывания и положительности производной можем записать Отсюда, так как получим

Таким образом, из равенства (11.9) найдем или т. е. индукция проведена.

Докажем теперь, что последовательность является неубывающей. Для этого достаточно доказать, что дробь, стоящая в правой части равенства (11.8), является неположительной. Так как производная положительна на сегменте то функция возрастает на этом сегменте, и поэтому из неравенств следует, что Отсюда и вытекает неположительность указанной дроби.

Итак, последовательность не убывает и ограничена сверху числом с. По теореме 3.15 эта последовательность сходится. В силу утверждения пределом ее является искомый корень.

Дадим геометрическую иллюстрацию рассмотренного выше случая 1°. Из формулы (11.8) вытекает, что является абсциссой точки пересечения хорды, соединяющей точки графика функции с осью (на рис. 11.4 изображены точки

Рис. 11.4

Как уже указано выше, кроме рассмотренного выше случая 1° возможны еще следующие три случая: 2° производная не зозрастает и отрицательна на сегменте производная не возрастает и положительна на сегменте производная не убывает и отрицательна на сегменте Эти случаи изображены соответственно на рис. 11.5, 11.6, 11.7.

В случае 2" уравнение (11.6), так же как и выше, заменяется уравнением (11.7) и в качестве нулевого приближения берется точка (при этом последовательность также оказывается неубывающей). В случаях 3° и 4° уравнение (11.6) заменяется не уравнением (11.7), а следующим уравнением

и в качестве нулевого приближения берется точка (при этом последовательность оказывается невозрастающей),

Рис. 11.5.

Рис. 11.6

Приведенная выше геометрическая иллюстрация является источником наименования метода хорд.

Перейдем теперь к изложению метода касательных или метода Ньютона.

Пусть, как и выше, искомый корень с уравнения (11.6) изолирован на сегменте на котором имеет непрерывную и монотонную первую производную, сохраняющую определенный знак. При этом возможны те же самые четыре случая, которые отмечены при изложении метода хорд.

Рис. 11.7

Ради определенности рассмотрим подробно случай 1°, т. е. предположим, что производная не убывает и положительна на сегменте

Заменим уравнение (11.6) эквивалентным ему на сегменте уравнением

и будем решать последнее уравнение методом итераций, приняв за нулевое приближение точку и определив последовательность рекуррентной формулой

Чтобы доказать, что последовательность сходится к искомому корню с, достаточно в силу утверждения доказать, что все лежат на сегменте и что последовательность сходится.

Применяя метод индукции, докажем, что все лежат на сегменте точнее, на сегменте где с — искомый корень. Так как лежит на сегменте то для проведения

индукции достаточно, предположив, что лежит на сегменте доказать, что и также лежит на этом сегменте. Если , то и из формулы (11.11) следует, что , т. е. индукция проведена. Пусть теперь . Тогда из формулы (11.11), учитывая, что , получим

Применяя к выражению, стоящему в числителе последней дроби, формулу Лагранжа, найдем

где . В силу неубывания и положительности производной дробь положительна и не превосходит единицы, т. е.

Таким образом, индукция проведена. Из положительности производной следует возрастание функции а поэтому из неравенства следует, что Таким образом, Отсюда в силу формулы т. е. последовательность не возрастает. Так как эта последовательность, кроме того, ограничена снизу числом с, то по теореме 3.15 она сходится. В силу утверждения 1 из п. 2 пределом ее является искомый корень с.

Дадим геометрическую иллюстрацию рассмотренного нами случай 1°. Из формулы (11.11) вытекает, что является абсциссой точки пересечения с осью касательной к графику функции в точке (на рис. 11.8 изображены точки Приведенная геометрическая иллюстрация является источником наименования метода касательных. Предлагаем читателю самостоятельно разобрать метод касательных для случаев 2°, 3°, 4°, указанных при изложении метода хорд.

Замечание 1. Возникает вопрос об оценке погрешности метода хорд и касательных, т. е. об оценке отклонения приближения от точного значения корня с. Применяя к выражению формулу Лагранжа, будем иметь Отсюда получим следующую оценку:

где — минимальное значение на сегменте Формула (11.12) позволяет оценить отклонение от точного значения корня с через значение модуля заданной функции в точке

Замечание 2. На практике часто используют комбинированный метод, заключающийся в поочередном применении метода хорд и метода касательных. Ради определенности остановимся на подробно рассмотренном выше случае 1°, т. е. предположим, что не убывает и положительна на сегменте (рис. 11.9). Определим по методу касательных, взяв за нулевое приближение точку После этого определим применяя метод хорд, но не к сегменту а к сегменту

Рис. 11.8

Рис. 11.9

Далее, определим по методу касательных, исходя из уже найденного по. методу хорд, применяя его к сегменту Указанный процесс иллюстрируется на рис. 11.9.

Преимущества комбинированного метода состоят в следующем: во-первых, он дает более быструю сходимость, чем метод хорд, и, во-вторых, поскольку последовательные приближения комбинированного метода с разных сторон приближается к корню, то разность дает оценку погрешности этого метода. Если за приближенное значение корня взять то для погрешности получим оценку