8. Функции ограниченной вариации.

До сих пор мы предполагали, что интегрирующая функция возрастает. Для того, чтобы перейти к интегралам с более общими функциями мы введем некоторый класс функций, который и будет служить для нас основным классом функций, к которому должны будут принадлежать все интегрирующие функции Пусть на замкнутом конечном или бесконечном промежутке имеется функция принимающая в каждой точке этого промежутка конечное значение. Пусть — некоторое разбиение на части Составляем сумму:

Определение. Если при всевозможных разбиениях множество значений этой суммы есть ограниченное множество, то функция

называется функцией с ограниченным изменением или функцией ограниченной вариации на промежутке а точная верхняя граница сумм (39) называется полной вариацией или просто вариацией функции на промежутке

Мы ее будем обозначать символом . Отметим некоторые простые свойства сумм U и полной вариации. Если между точками ввести новую точку деления с, то из формулы непосредственно следует

т. е. при добавлении новых точек деления сумма не убывает. Далее, если суммы состоящие из неотрицательных слагаемых, остаются ограниченными для промежуро то они тем более остаются ограниченными и для любого промежутка , составляющего часть , т.е. если — ограниченной вариации на , то она будет ограниченной вариации и на любой части промежутка [а, b]

Если взять промежуток целиком, то это есть одно из возможных разбиений , и так как мы имеем, очевидно, для любого разбиения неравенство то, в частности, мы будем иметь

Если монотонная функция на промежутке то все разности имеют один и тот же знак, и сумма при любом равна для возрастающей функции и для убывающей функции, т. е. любая монотонная функция есть функция ограниченной вариации.

Формулируем теперь в виде отдельных теорем ряд свойств функций ограниченной вариации.

Теорема . Если ограниченной вариации на то она ограничена на этом промежутке.

Для любого принадлежащего можем написать следовательно, или, в силу что и доказывает ограниченность

Теорема 2. Если функции ограниченной вариации на то cg(x) (с - постоянная) и также ограниченной вариации.

Проведем доказательство для суммы. Составим для :

Последние две суммы ограничены, так как, по предположению, ограниченной вариации. Следовательно, и подавно ограничена, т. е. ограниченной вариации.

Следствие. Всякая конечная линейная комбинация функций ограниченной вариации, т. е. выражение вида есть также функция ограниченной вариации.

Теорема 3. Если ограниченной вариации, то и их произведение также ограниченной вариации. Если, кроме того, , то и частное ограниченной вариации.

Рассмотрим произведение и построим для него

Принимая во внимание ограниченность можем написать , где L — некоторое положительное число.

Имеем очевидную формулу

которая совместно с (41) дает нам

или

Но написанные суммы ограничены, так как, по предположению, — ограниченной вариации, а потому и суммы ограничены, что и доказывает теорему.

Теорема 4. Если — ограниченной вариации на , то она — ограниченной вариации на и

наоборот, если она ограниченной вариации на то она ограниченной вариации и на При этом имеет место формула

Выше мы видели, что если ограниченной вариации на то она ограниченной варлации на . Остается доказать обратное утверждение и формулу (42). Обозначим через сумму (39) для и через и t аналогичные суммы для . Если точка с является точкой деления , то это подразделение разбивается на подразделение промежутка и подразделение промежутка и мы имеем Если ограниченной вариации на то предыдущая формула дает Таким образом, суммы остаются ограниченными, если с является точкой деления. Тем более они остаются ограниченлыми и для других подразделений, так как добавление точки деления может только увеличить сумму Из этого рассуждения следует, что ограниченной вариации на и что Докажем противоположное неравенство, откуда и будет следовать формула (42). Пусть — заданное положительное число, В силу определения точной верхней границы мы можем в формуле выбрать подразделения и так, чтобы иметь в. При этом получим откуда или, в виду произвольности что и доказывает окончательно теорему.

Следствие. Мы доказали теорему для случая разбиения промежутка на две части. Применяя ее несколько раз, получим аналогичный результат для случая разбиения на конечное число частичных промежутков, т. е. если промежуток разбит на конечное число частичных промежутков и ограниченной вариации на всем промежутке, то она ограниченной вариации на каждом частичном промежутке и наоборот; далее, полная вариация по всему промежутку равна сумме полных вариаций на каждом из частичных промежутков. Это свойство называют обычно свойством аддитивности полной вариации. Оно может быть записано в виде

Теорема 5. Для того, чтобы была ограниченной вариации, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде разности двух возрастающих функций.

Достаточность очевидна. Возрастающие функции суть функции ограниченной вариации, и разность таких функций, по следствию теоремы 2 есть также функция ограниченной вариации. Докажем теперь необходимость, т. е. покажем, что если есть функция ограниченной вариации, то ее можно представить в виде разности двух возрастающих функций. Если положить

то будем иметь

и достаточно показать, что функции возрастают. Докажем это для . Пусть принадлежат Имеем или, в силу аддитивности полной вариации:

Но, в силу откуда и следует, что

Возрастающие функции могут иметь только конечное или счетное множество точек разрыва, и в каждой точке разрыва они имеют предел слева и справа. Следовательно, то же самое можно утверждать и относительно функции .

Теорема 6. Если в некоторой точке функция непрерывна, то в этой точке функция также непрерывна и наоборот. Если непрерывна справа (слева), то и непрерывна справа (слева) и наоборот.

Положим, что и рассмотрим, например, непрерывность справа. Пусть в — заданное положительное число. Делим на части так, чтобы имело место неравенство

Если добавить новые точки деления, то написанное неравенство и подавно будет иметь место. Мы можем поэтому считать, что точка взята настолько близко к с, что При этом используется непрерывность справа. Неравенство (46) можем переписать так:

откуда получаем, в силу

Сумма, стоящая слева, есть некоторая сумма для промежутка и из последнего неравенства следует:

или, в силу аддитивности полной вариации, мы получим Функция возрастает, и из последнего неравенства следует откуда, ввиду произвольности в, получаем в точке непрерывна справа. Наоборот, если дано, что непрерывна справа, то в силу (40) имеем и при стремлении положительного числа h к нулю правая часть стремится к нулю, а, следовательно, левая и подавно стремится к нулю, что и доказывает непрерывность справа в точке х = с.

Если непрерывна в точке с, то, в силу доказанного, функции определяемые формулами (44), также непрерывны в точке Утверждение это справедливо, очевидно, для непрерывности справа или слёва.

Теорема 7. Если ограниченной вариации, и

есть какое-либо представление в виде разности возрастающих функций, то для любых принадлежащих , имеют место неравенства

Ограничимся доказательством первого из этих неравенств, которое можно записать в виде

Доказываем это неравенство от обратного. Положим, что имеет место противоположное неравенство

Берем такое подразделение промежутка чтобы сумма была настолько близкой к полной вариации , чтобы при замене этой полной вариации упомянутой суммой в неравенстве (50) это

неравенство по-прежнему имело бы место. Таким образом, для некоторого подразделения будем иметь

С другой стороны, можем, очевидно, написать

и, следовательно, неравенство (51) может быть записано в виде

По крайней мере одно из слагаемых левой части должно быть больше соответствующего слагаемого правой части. Пусть это будет при Это приводит нас к следующему неравенству:

Если то это неравенство нелепо, так как его левая часть равна нулю, а правая неотрицательна, ибо по условию возрастает. Остается считать, что При этом неравенство (52) может быть записано в виде

или, в силу (47), оно приводит к неравенству

что нелепо, так как, по условию, возрастает. Таким образом, мы пришли к нелепости, и неравенство (49), а тем самым и вся теорема доказаны.

Представление (45) в виде разности двух возрастающих функций и которые определяются по формулам (44), называется обычно каноническим представлением функции ограниченной вариации в виде разности двух возрастающих

функций. В силу доказанной теоремы функции входящие в каноническое представление, возрастают не интенсивнее, чем функции, входящие в какое-нибудь другое представление. Если добавить к одну и ту же постоянную с, то это не изменит, очевидно, ни их разности, ни их приращения на любой части промежутка и полученное представление в виде разности и также можно назвать каноническим.

Замечание. Каждую из возрастающих функций можно разбить на функцию скачков и непрерывную часть:

Это приведет нас к вполне определенному разбиению первоначальной функции на функцию скачков и непрерывную часть