§ 1.2. Уравнение Дирака для электрона в электромагнитном поле и свойства инвариантности уравнения Дирака

1.2.1. Уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном поле.

Уравнение Дирака (1.1.12) описывает свободный электрон. Если же электрон находится во внешнем электромагнитном поле, то состояние электрона описывается уравнением, которое получается из (1.1.12) путем замены на , где — заряд электрона и — -потенциал внешнего электромагнитного поля.

Итак, биспиноры и описывающие электрон во внешнем электромагнитном поле, удовлетворяют уравнениям

Обратим внимание на то, что в эти уравнения Дирака не

непосредственно поле, т. е. тензор только 4-потенциал поля . С этим связано Важное свойство уравнения Дирака, а именно его калибровочная (или градиентная) инвариантность. Свойство это заключается в следующем. Уравнение Дирака для свободного электрона определяет биспинор с точностью до постоянного фазового множителя где а — константа. Действительно, при преобразовании уравнение (1.1.12) остается неизменным.

Иная ситуация возникает, если считать а функцией в этом случае уравнение (1.1.12) уже не будет инвариантно по отношению к преобразованиям

уравнение же (1.2.1) с 4-потенциалом А инвариантно по отношению к этому преобразованию. Действительно, -вектор потенциала определяется полем неоднозначно, так как, не изменяя поля,

можно перейти от потенциала к потенциалу , где любая функция . Поэтому вместе с преобразованием (1.2.2 функции можно подвергнуть также преобразованию -вектор потенциала, выбрав , и уравнение Дирака останется при этом неизменным. Такое комбинированное преобразование

оставляющее инвариантным уравнение Дирака, называется калибровочным.

Можно, следовательно, сказать, что инвариантность уравнения Дирака по отношению к фазовому преобразованию с переменной фазой достигается благодаря взаимодействию электрона с электромагнитным полем.

Уравнению Дирака (1.2.1) можно придать вид

где Н — гамильтониан, определяемый формулой

    (1.2.3)