4.3.2. Тормозное излучение в высокоэнергетическом приближении.

Перейдем теперь к вычислению сечения тормозного излучения в высокоэнергетическом приближении, когда волновые функции электронов в начальном и в конечном состояниях определяются формулами (см. § 1.3) [13]

    (4.3.12)

где

причем в выражении для ось направлена вдоль а в выражении для ось направлена вдоль соответственно векторы ортогональны . Если перейти от координат к координатам , то функция приобретет вид

Волновые функции (4.3.12) и (4.3.13) справедливы в пространственной области , где удовлетворяют неравенствам

При данном значении переданного импульса q интеграл в правой части (4.3.3) определяет эффективную область изменения пространственных переменных: и где — компонента вектора q, параллельная Очевидно, мы можем применять для вычисления матричного элемента (4.3.3) волновые функции (4.3.12) и (4.3.13), если Отсюда; следуют ограничения на область переданных импульсов, в которой

матричный элемент тормозного излучения может быть вычислен с помощью волновых функций (4.3.12) и (4.3.13):

Подставляя волновые функции (4.3.12) и (4.3.13) в (4.3.3), получим (с точностью до членов порядка следующее выражение для матричного элемента:

где (индекс у переменных опущен). Выполнив в (4.3.15) интегрирование по z по частям и интегрирование по азимутальному углу вектора , получим

    (4.3.16)

Так как M является функцией то удобно выразить произведение дифференциалов через переменные q и где — угол между . Используя законы сохранения и учитывая, что в области больших энергий основной вклад в излучение вносят углы получим с точностью до членов порядка

где — угол между Отсюда легко найти якобиан перехода

Из положительности радикала следует, что -Вводя далее вместо новую переменную у:

получим

и, следовательно,

где ( — азимутальные углы и q). Заметим, что угол изменяется от 0 до , а якобиан перехода одинаков для интервалов , поэтому в формуле для сечения выражение необходимо умножить на два. Окончательная формула для имеет вид

    (4.3.18)

Из (4.3.16) и (4.3.18) следует, что основной вклад в спектр излучения вносят значения импульса по порядку величины равные . Подставляя это значение в (4.3.14), придем к следующим ограничениям на область переданных импульсов в которой справедлива формула (4.3.16):

В рассматриваемом приближении поэтому после усреднения по поляризациям и интегрирования по у мы получим

Рассмотрим некоторые предельные случаи (4.3.19). Если , т. е. если справедливо борновское приближение, то входящую в экспоненту можно разложить в ряд. При этом в первом приближении где — фурье-компоненты потенциала, и

    (4-320)

Если т. е. если характерная длина вдоль импульса частицы, на которой на частицу действует внешнее поле, мала по сравнению с характерной для излучения длиной то входящую в экспоненту можно заменить на единицу:

Дифференциальное сечение излучения в этом случае после интегрироваиия по приобретает вид

    (4.3.21)

где сечение упругого рассеяния (1.7.40) и вероятность излучения

Мы рассмотрели случай малых переданных импульсов. Но с помощью волновых функций (4.3.12) и (4.3.13) можно также определить матричный элемент тормозного излучения и в том случае, когда . Мы приведем здесь только окончательное выражение [13] для М, справедливое при

(z — длина, на которой на частицу действует поле).

Сечение тормозного излучения теперь имеет вид

    (4.3.23)

где — сечение упругого рассеяния (1.7.40) и — вероятность излучения

Выполнив суммирование по поляризациям всех частиц и интегрирование по у и получим

    (4.3.24)

где Если то формула (4.3.25) переходит в (4.3.22);

если же , то

При в выражении для сечения упругого рассеяния можно выполнить разложение . В первом приближении формула (4.3.24) дает при этом результат первого борновского приближения для сечения тормозного излучения.

Если согласно (1.7.48), и

    (4.3.26)

Помножив на , получим интенсивность излучения . При , т. е. в классическом пределе,

    (4.3.27)

где