§ 2.2. Момент импульса фотона

2.2.1. Оператор момента.

Установим вид оператора момента фотона в состоянии, описываемом волновой функцией Определим с этой целью изменение волновой функции фотона в точке k при бесконечно малом повороте на угол Так как представляет собой вектор, то при бесконечно малом вращении -пространства на угол волновые функции преобразуются согласно закону

    (2.2.1)

Отсюда следует, что изменение волновой функции в точке равно

Подставляя сюда значение и вспоминая определение (2.1.3). оператора s, перепишем в виде

Входящее сюда выражение в круглых скобках (отличающееся множителем — i от оператора бесконечно малого поворота) и представляет собой оператор момента импульса фотона

    (2.2.2)

Мы видим, что оператор момента импульса фотона состоит двух слагаемых. Первое слагаемое совпадает с обычным квантовомеханическим оператором орбитального момента импульса в импульсном представлении

Второе слагаемое представляет собой оператор спинового момента (см. (2.1.3)).

Однако разделение момента фотона на орбитальную и спиновую части имеет ограниченный физический смысл. Во-первых, к фотону неприменимо обычное определение спина как момента покоящейся частицы, ибо масса покоя фотона равна нулю. Во-вторых, состояния с определенными значениями орбитального и спинового

моментов, как мы увидим ниже, не удовлетворяют в общем случае условию поперечности. Поэтому физический смысл имеют только определенные суперпозиции таких состояний. Тем не менее с формальной стороны представление момента в виде суммы двух слагаемых весьма полезно. Оно позволяет построить волновые функции состояний фотона с определенным значением момента из более простых собственных функций орбитального момента и спина.

Векторный индекс а волновой функции фотона можно рассматривать как независимую переменную, принимающую три значения, . Соответственно этому мы введем обозначение . Функция представляет собой скаляр в обобщенном пространстве импульсов и спина, объединяющем переменные . Различные проекции вектора теперь являются значениями скаляра в различных точках спинового подпространства. Оператор L действует только на переменные , а оператор s, согласно его определению (2.1.3), — только на переменную а. Поэтому операторы L и s коммутируют.

Рассмотрим прежде всего оператор L. Проекции его удовлетворяют перестановочным соотношениям

Так как квадрат оператора L коммутирует с его проекциями, то одновременно можно диагонализовать и одну из проекций L, например, . Собственные значения этих операторов равны соответственно , где I — целое положительное число,

Собственная функция операторов соответствующая их собственным значениям , представляет собой шаровую функцию , где

Рассмотрим теперь оператор спина фотона и его собственные функции. Обозначим через собственную функцию операторов . Аргументом функции является спиновая переменная а. Поэтому эту функцию можно представить также в виде вектора

Функции удовлетворяют уравнениям

Используя явный вид (2.1.2) матриц получим отсюда

Эти функции ортогональны друг к другу, так как они являются собственными функциями эрмитовского оператора и нормированы согласно условию

или в векторной форме

Ортонормированные векторы могут быть использованы для того, чтобы разлагать по ним произвольный вектор

    (2.2.4)

Величины называются контравариантными составляющими вектора Используя (2.2.3), легко установить связь с декартовыми составляющими вектора

    (2.2.5)

Наряду с контравариантными можно ввести также ковариантные составляющие вектора f, определяемые как

    (2.2.6)

Используя это определение, можно представить скалярное произведение двух векторов и g в внде