5.5.2. Рассеяние электроном фотонов малой частоты.

В п. 3.6.2 при разъяснении идеи перенормировки заряда электрона мы показали, что сечение рассеяния фотона электроном с учетом высших приближений теории возмущений при нулевой частоте фотоиа определяется формулой Томсона, т. е. амплитуда этого рассеяния имеет вид

— биспиноры, описывающие электрон в начальном и конечном состояниях — соответствующие энергии), — заряд и масса реального электрона и — векторы поляризации падающего и рассеянного фотонов. Это выражение, представляющее собой первый член в разложении амплитуды рассеяния фотона электроном по степеням частоты фотона, совпадает с классической амплитудой рассеяния фотона электроном. Оно показывает, что при радиационные поправки к амплитуде рассеяния сводятся лишь к перенормировке заряда и массы электрона. Это обстоятельство связано с тем, что амплитуда рассеяния фотона электроном имеет конечный и отличный от нуля классический предел (при ), а из можно составить только одну величину, имеющую размерность длины, а именно классический радиус электрона По этой же причине формула (5.5.16) справедлива не только для электрона, но и для всех частиц.

Последующие члены в разложении амплитуды рассеяния фотона электроном по степеням частоты с учетом радиационных поправок имеют более сложную структуру и, как следует из результатов п. 5.5.1, отличаются от соответствующих членов в разложении формулы Клейиа — Нишины по степеням со. Исключение представляет линейный по частоте член, который имеет такую же структуру, как и линейный по со член в классической амплитуде рассеяния фотона частицей, обладающей наряду с зарядом еще магнитным моментом — нормальным и аномальным.

Амплитуду рассеяния фотона такой частицей можно определить либо исходя из уравнений Максвелла и уравнений движения частицы в поле, либо, что проще, исходя из уравнения Дирака

    (6.5.17)

описывающего частицу с зарядом массой и аномальным магнитным моментом представляет собой тензор поля, . Мы не будем приводить здесь вычислений амплитуды рассеяния М, а приведем только окончательный результат (учитывающий не зависящие от и линейные по члены):

    (6.5.18)

— биспиноры, описывающие начальное и конечное состояния электрона, — 4-импульс электрона в начальном состоянии, — 4-импульсы падающего и рассеянного фотонов, матрицы Паули) и — полный магнитный момент частицы.

Рис. 5.10.

Можно показать, чтотакой же формулой определяются два первых члена в разложении по степеням со амплитуды рассеяния фотона электроном с учетом радиационных поправок, если под понимать аномальный магнитный момент электрона [19].

С этой целью разобьем, так же как и в п. 3.6.2, диаграммы, изображающие рассеяние фотона электроном, на две группы — диаграммы, сводящиеся к скелетной диаграмме рис. 5.10, и диаграммы, представляющие собой компактные ЭСЭД, к электронным линиям которых присоединены две внешние фотонные линии. Легко найти вклад, вносимый диаграммами первой группы в тензор , определяющий амплитуду рассеяния:

    (5.5.19)

перенормированные вершинная функция и электронная функция Грина).

Определим теперь вклад , вносимый в тензор рассеяния диаграммами второй группы. Напомним для этого, что если имеется некоторая диаграмма, которой соответствует матричный элемент М, и к какой-либо ее электронной линии с -импульсом присоединяется фотонная линия с нулевым импульсом и вектором поляризации, направленным вдоль оси то новой диаграмме будет соответствовать матричный элемент, равный . Отсюда следует, что вклад, вносимый в диаграммами второй группы, будет определяться величинами , в которых вершинная функция должна быть разложена в ряд по степеням волнового вектора фотона, причем в этом разложении должны быть сохранены только члены, не содержащие k и линейные по k. Ясно, что члены более высокого порядка при этом учитывались бы неправильно.

Из (5.5.19) следует, что удовлетворяет условию

Таким же свойством симметрии должен обладать и весь тензор рассеяния , а следовательно, и его часть

Учитывая это свойство, можно представить в виде

    (5.5.20)

Мы должны теперь разложить выражения (5.5.19) и (5.5.20) в ряды по степеням частоты фотона и удержать в них только первые два члена. Из соображений релятивистской инвариантности следует, что нужные нам разложения вершинных функций имеют вид

где — некоторые функции

Далее электронную функцию Грина мы можем представить в виде

    (5.5.22)

где — некоторые функции равные единице при , причем из тождества Уорда легко заключить, что при совпадают производные функций по Используя (5.5.22), получим нужное нам разложение

    (5.5.23)

где производные берутся при

Наконец, считая, что электрон в начальном состоянии покоится, мы можем, согласно (1.1.27), представить в виде

    (5.5.24)

где — двухкомпонентные спиноры, описывающие начальное и конечное состояния.

Используя формулы (5.5.21), (5.5.23) и (5.5.24), получим следующее выражение для амплитуды рассеяния фотона электроном:

где — вклады, вносимые в величину Л диаграммами первой и второй групп, равные

Сумма величин имеет, как мы видим, ту же структуру, что и величина , определяемая формулой (5.5.18), и нам остается лишь убедиться, что аномальный магнитный момент электрона имеет вид

    (5.5.26)

где

Рассмотрим для Этого рассеяние электрона внешнем электромагнитном поле . Матричный элемент, определяющий рассеяние, равен, очевидно,

Считая, что потенциал соответствует однородному магнитному полю, и предполагая, что электрон вначале покоится, получим, используя (5.5.21) и (5.5.24), следующее выражение для линейного по k слагаемого в М:

С другой стороны, можно определить М, основываясь на уравнении (5.5.17):

Сравнение этих выражений приводит к формуле (5.5.26).

Обратим внимание на тот факт, что основной вклад в амплитуду рассеяния А вносят диаграммы первой группы. Можно убедиться в том, что величина лишь компенсирует те члены в наличие которых противоречит калибровочной инвариантности амплитуды рассеяния (ср. аналогичную ситуацию в амплитуде излучения мягкого фотона в § 4.4). Отсюда следует, что формула (5.5.18) справедлива не только для электронов, но и для произвольных частиц. Действительно, диаграммы первой группы носят универсальный характер, и вносимый ими вклад в А определяется только поведением функции Грина частицы вблизи полюса и структурой вершинной функции при малых k (см. § 3.5).

Таким образом, рассеяние фотона любой частицей независимо от ее природы (в том числе адронов с произвольным спином) определяется с точностью до членов, линейных по частоте, только зарядом и магнитным моментом частицы (которые следует рассматривать как эмпирические константы).