4.5.2. Точная теория образования пары фотоном в поле ядра вблизи порога.

Поправка к сечению образования пары фотоном в поле ядра в борновском приближении при крайне релятивистских энергиях. Полученные выше формулы для сечений образования пары справедливы в борновском приближении, когда — скорости электрона и позитрона).

В нерелятивистском случае возможно точное вычисление сечения образования пары, основанное на использовании точных волновых функций электрона и позитрона в кулоновском поле. Это вычисление производится аналогично вычислению сечения тормозного излучения. Матричный элемент, определяющий образование пары, может быть представлен в виде

    (4.5.10)

где — волновые функции электрона в кулоновском поле ядра с положительной и отрицательной частотами. Так как в рассматриваемом процессе обе частицы образуются, то асимптотика функций и при больших должна быть одинаковой, а именно, эти функции должны при иметь вид сумм плоских и сходящихся сферических волн. В этом заключается различие между матричными элементами, определяющими образование пары и тормозное излучение: в последнем процессе только волновая функция электрона в конечном состоянии имеет такую асимптотику, волновая же функция электрона в начальном состоянии имеет при вид суммы

плоской и расходящейся сферической волн. В нерелятивистском случае функции имеют вид

где — единичные биспинорные амплитуды и — нормировочные множители, которые мы выберем равными

что соответствует единичной амплитуде волновых функций на бесконечности. Вычисления, которые мы здесь опустим, приводят к следующему выражению для распределения позитронов по энергиям вблизи порога реакции [24]:

Остановимся в заключение этого пункта на вопросе о точном вычислении матричного элемента (4.5.10), определяющего процесс образования пар фотоном в кулоновском поле ядра в крайне релятивистском случае. Так как в интеграле (4.5.10) главную роль играют расстояния , то в области больших энергий электрона и позитрона, в качестве волновых функций могут быть взяты в соответствии с (1.7.6) функции

Мы приведем здесь только окончательный результат для дифференциального сечения образования пары:

где функции определены в п. 4.3.6, и

(остальные обозначения — такие же, как в п. 4.3.6).

Проинтегрированное по углам сечение образования пары имеет

где функция определяется формулой (4.351).

С учетом экранирования сечение равно

где же функции, которые входят в (4.3.38),

Рис. 4.13.

Полное сечение образования пары без учета экранирования равно

а в случае полного экранирования

Мы видим, что поправка к сечению образования пар, вычисленному в борновском приближении, равна

Для свинца относительная поправка составляет около