2.4.2. Когерентные состояния.

Условие факторизации будет, очевидно, выполняться для таких векторов состояния которые удовлетворяют уравнениям

    (2.4.5)

Эти состояния, являющиеся собственными состояниями положительное отрицательно-частотных частей поля, называются когерентными состояниями, функции же S представляют собой собственные значения когерентных состояний. Ясно, что они должны удовлетворять классическим уравнениям Максвелла.

Покажем теперь, как могут быть построены векторы когерентных состояний. Будем сперва считать электромагнитное поле свободным и воспользуемся его разложением на плоские волны

где — произвольные комплексные с-числа. Сравнение этого разложения с разложением (см. (2.3.1))

дает

    (2.4.6)

Таким образом, сспредставляют собой собственные значения операторов уничтожения фотонов

Из (2.4.6) следует, что

    (2.4.7)

где — векторы когерентных состояний для отдельных степеней свободы поля:

    (2.4.8)

Чтобы найти вектор состояния умножим (2.4.8) скалярно на Учитывая (2.3.4), получим

(индексы k и X здесь опущены). Отсюда следует, что

Эти величины представляют собой, очевидно, коэффициенты разложения вектора когерентного состояния по векторам состояний соответствующих определенным значениям числа фотонов. Поэтому

Чтобы найти определим квадрат вектора

Считая, что получим

Итак, вектор когерентного состояния отдельного колебания поля имеет вид

    (2.4.9)

Отсюда, используя (2.4.7), можно найти вектор когерентного состояния всего поля.

Заметим, что когерентное состояние (2.4.9) может быть представлено также в виде

    (2.4.10)

Действительно, воспользовавшись соотношением

справедливым, если получим из (2.4.10)

Легко найти среднее число фотонов в когерентном состоянии Из (2.4.6) следует, что

Но левая часть равенства есть, очевидно, среднее значение . Поэтому

    (2.4.11)

Векторы различных когерентных состояний не ортогональны между собой. Но набор их является полным (даже сверхполным). Действительно, из (2.4.9) и соотношения

с учетом формулы

где следует, что

а, так как — полный набор ортонормированных векторов состояний, то

Мы показали, как строятся когерентные состояний поля, предполагая, что поле является свободным. Но когерентные состояния поля могут быть введены и для поля излучения при наличии токов и зарядов. Необходимо лишь, чтобы токи и заряды можно было рассматривать как строго заданные классические величины. В этом случае вектор состояния поля определяется формулой (см. (3.2.27))

    (2.4.12)

где — оператор поля (2.3.1). Входящая сюда экспонента равна, очевидно,

    (2.4.13)

где — фурье-компонента. плотности тока:

Сравнивая (2.4.12) и (2.4.13) с (2.4.10), мы видим, что действительно представляет собой когерентное состояние

где

Найдем собственное значение положительно-частотной части оператора поля

Из (2.4.14) и аналогичной формулы

следует, что

Используя формулу

и соотношения (2.3.13), (2.3.37) и (2.3.38), получим отсюда

Мы видим, что представляет собой разность запаздывающих и опережающих потенциалов, создаваемых током