§ 3.8. Асимптотические свойства функций Грина

3.8.1. Структура функций Грина в области больших импульсов.

Выше мы показали, что матричный элемент, соответствующий какому-либо процессу, с учетом высших приближений теории возмущений сохраняет свой вид при переходе от иенеренормированных к перенормированным величинам:

. Это важнейшее свойство электромагнитного взаимодействия электронов и фотонов, называемое перенормируемостыо, было использовано нами в предыдущем параграфе для установления правил регуляризации различных квантовоэлектродинамических величин.

Теперь мы покажем, что, используя свойство перенормируемости, можно выяснить структуру и получить асимптотические представления функций Грина в области больших импульсов [13, 14]. Рассмотрим прежде всего фотонную функцию Грина. Предполагая

Выполненной перенормировку массы электрона, запишем в виде

где d — некоторая функция квадрата 4-импульса граничного импульса L и неперенормированного заряда электрона,

Перенормированная функция d, которую мы будем обозначать через и которая является функцией

связана, согласно (3.8.1), с неперенормированной функцией d соотношением

где Z является некоторой функцией связаны между собой соотношением Отсюда следует, что

    (3.8.3)

Как видно из структуры выражений, сопоставляемых различным фейнмановским диаграммам, они допускают предельный переход (речь идет о неперенормированных выражениях). Предельный переход к нулевой массе возможен и после перенормировки массы (но не после перенормировки заряда!). Этот предельный переход соответствует рассмотрению области больших импульсов, Поэтому, интересуясь поведением функций Грина в области больших импульсов, мы можем в неперенормированной (по заряду) функции d вычеркнуть второй из аргументов,

    (3.8.4)

Величина носит название инвариантного заряда. Покажем, что инвариантный заряд удовлетворяет уравнению

где

Продифференцируем с этой целью (3.8.4) по

Исключая отсюда мы и придем к уравнению (3.8.5). Оно называется уравнением Овсянникова—Келлена—Симанчика [15-17].

Функция может быть, очевидно, выражена как через константу перенормировки Z, так и через фотонную функцию

    (3.8.7)

Отсюда можно получить уравнение типа (3.8.5) для константы перенормировки Z (рассматриваемой как функция параметров ):

    (3.8.8)

Заметим, что так как не зависит от , то и функция не зависит от граничного импульса а так как Z не зависит от , то не зависит и от

Общее решение уравнений (3.8.5) и (3.8.8) имеет, очевидно, следующий вид:

где Ф и С - некоторые неизвестные функции одного аргумента. Мы видим, что в области больших импульсов величина является функцией не двух, а только одного аргумента . Отсюда можно получить важное следствие, касающееся эффективной плотности заряда в облаке электронно-позитронных пар, окружающих в вакууме какой-либо пробный заряд. Внешний потенциал и порождающий его ток связаны между собой в вакууме согласно (3.5.22) соотношением

В случае покоящегося пробного заряда и, следовательно, потенциал, порождаемый зарядом Q в вакууме, имеет вид

    (3.8.11)

или

    (3.8.12)

откуда следует, что плотность заряда в облаке электронно-позитронных пар, окружающих пробный заряд, определяется формулой

    (3.8.13)

Мы видим, что функция имеет наглядный физический смысл: с точностью до постоянного множителя она представляет собой компоненту Фурье плотности заряда в облаке пар, окружающих «точечный» заряд Q. Иначе можно сказать, что представляет собой формфактор «точечного» заряда.

На очень малых расстояниях от пробного заряда в (3.8.13) можно подставить вместо функции ее асимптотическое представление (3.8.9)

Сделав здесь замену переменной и вводя обозначение

получим

Эта формула показывает, что на расстояниях, меньших чем форма распределения заряда не зависит от постоянной связи которая входит лишь в масштабный множитель

Поведение функции при тесно связано с величиной заряда «голого» электрона или, как мы будем говорить, первичного заряда . Если при то сингулярность в центре распределения заряда будет более сильной, чем -образная, и, следовательно, первичный заряд будет бесконечным, Если же при функция стремится к конечному пределу

, то и первичный заряд будет конечным, причем его величина, определяемая этим пределом, не будет зависеть от

Подчеркнем, что все эти выводы, так же как и соотношение (3.8.9), определяющее структуру фотонной функции Грина в области больших импульсов или малых расстояний, основаны только на свойстве перенормируемости и существовании у неперенормированных матричных элементов конечных пределов при 0.

Соотношения, аналогичные (3.8.9), могут быть получены также для перенормированных вершинных функций . Для этого удобно предварительно выразить через различные скалярные функции и величины типа которые можно построить с помощью 4-векторов Например, может быть представлена в виде

где — некоторые функции не имеющие полюсов при конечных значениях Аналогичное, но более сложное выражение может быть написано и для перенормированной вершинной функции. Скаляры и и аналогичные скаляры для вершинной функции зависят не только от -импульсов и перенормированного заряда но еще и от так называемой «массы фотона» вводимой для устранения инфракрасной расходимости, возникающей в результате регуляризации функций (подробно вопрос о «массе» фотона обсуждается в § 4.4). Таким образом, скалярные функции, входящие в , зависят от трех переменных а скалярные функции входящие в от пяти переменных

Упрощения наступают в области больших импульсов. Поступая так же, как и при выводе (3.8.9), можно показать, что в области больших импульсов функции имеют следующую структуру:

где — та же функция, которая входит в (3.8.9), - некоторые функции одного и двух аргументов. Эти соотношения, так же как и соотношение (3.8.9), основываются на свойстве перенормируемости и существовании конечного предела у матричных элементов при

Из перенормируемости вытекает также существование некоторой группы преобразований, по отношению к которым инвариантны матричные элементы. Именно, если обозначить перенормированный заряд и перенормированные функции Грииа и вершинную функцию соответственно через и перейти от этих величин

к величинам связанным с соотношениями

    (3.8.15)

где — произвольные величины, то матричные элементы , вычисленные с помощью первой и второй систем величин, будут одинаковы: . Такие преобразования образуют, очевидно, группу, которая носит название ренормализационной группы [18]. Изучение ренормализационной группы также позволяет выяснить асимптотические свойства функций Грина [19, 20].