2.4.3. Корреляционные функции и когерентность высших порядков.
Входящий в определение корреляционной функции 
оператор 
описывает статистические свойства поля как некоторой динамической системы. Поэтому изучение корреляционной функции позволяет, в принципе, получить информацию о статистических свойствах поля. Однако, с этой точки зрения одной функции 
недостаточно и необходимо знание корреляционных функций высших порядков,
(2.4.15)
Только в простейшей модели статистических свойств поля — для так называемых гауссовых полей — все корреляционные функции высших порядков сводятся к корреляционной функции первого порядка, в общем же случае это не так.
На величину 
реагирует детектор фотонов, состоящий из 
атомов, а именно, если производится регистрация 
-кратных совпадений в поглощении фотонов, то скорость счета детектора, отнесенная к единице времени, будет пропорциональна 
, где 
— координаты поглощающих фотоны атомов и 
— моменты поглощения (поляризационные индексы 
опущены).
Статистические свойства поля в конечном счете определяются источниками поля, в которых протекают, вообще говоря, неконтролируемые процессы. Поэтому, как правило, весьма сложный характер имеет и статистический оператор.
Простейшими свойствами обладает идеальный источник поля, каковым является источник с заданным распределением токов и зарядов. В нем, по определению, нет никаких неконтролируемых процессов и, в частности, излучение не оказывает обратной реакции на заряды источника.
Заданный классический ток создает поле, которое, как мы сидели, находится в когерентном состоянии (мы будем называть такое поле когерентным). Ясно, что все корреляционные функции когерентного поля обладают свойством факторизации
где 
— собственное значение вектора когерентного состояния поля. Эта величина, как уже говорилось, удовлетворяет классическим уравнениям Максвелла с заданным распределением токов.
Напомним, что факторизация корреляционной функции 1-го порядка обеспечивает максимально возможную резкость обычной оптической интерференционной картины, или, выражаясь более точно, картины, регистрируемой одноатомным счетчиком фотонов.
Практически, конечно, невозможно создать источник с абсолютно заданным распределением токов; поэтому не существует и строго когерентных полей. Но могут быть созданы поля, для которых корреляционные функции нескольких первых порядков факторизуются. Если факторизация имеет место при М и ее нет при 
то говорят, что поле обладает когерентностью М-порядка.
Отсутствие полной когерентности (при которой 
) связано с тем, что источник никогда не может быть идеальным, и поэтому он не создает поле в чистом когерентном состоянии: практически поле всегда будет находиться в состоянии смеси.
Если бы поле находилось в когерентном состоянии 
, то статистический оператор имел бы, очевидно, вид
(речь идет для простоты об одной степени свободы поля). В случае же смеси 
будет определяться формулой
(2.4.17)
где 
— некоторая функция а, называемая весовой функцией. Поле называется гауссовым, если
Здесь 
представляет собой, очевидно, среднее значение 
Но, согласно (2.4.10), это есть среднее значение числа фотонов в состоянии 
. Поэтому можно сказать, что гауссовы поля характеризуются только средними числами фотонов разных сортов.
Можно показать, что гауссово поле возникает в том случае, когда имеется очень много источников, подобных друг другу, 
излучающих независимо друг от друга.
Заметим, что если перейти от когерентных состояний 
к состояниям с определенным числом фотонов 
, то в соответствии с (2.4.9) статистический оператор будет иметь вид
Эта формула становится очевидной для равновесного излучения. Действительно, в этом случае
и
где 
представляет собой вероятность того, что поле содержит 
фотонов.
Определим теперь корреляционные функции в случае гауссова статистического оператора.
Используя общее выражение (2.4.17) для р, можно, очевидно, представить 
не
где 
— весовая функция. Для гауссовых полей
Поэтому 
Поступая аналогично, можно найти корреляционную функцию второго порядка:
(2.4.19)
Мы видим, что эта функция полностью выражается через корреляционную функцию первого порядка. Это же утверждение справедливо и для корреляционных функций более высокого порядка:
где индексы 
и координаты 
при 
являются перестановками из двух наборов 
соответственно, а суммирование производится по всем 
перестановкам.
Из этих же формул следует, что для гауссовых полей максимально возможна только когерентность первого порядка. Действительно, если имеет место факторизация функции 
то условие факторизации (2.4.16) не будет выполняться при 
, так как
Проиллюстрируем эту ситуацию на примере волны, распространяющейся вдоль оси z. В этом случае 
будет в соответствии
с (2.4.18) определяться формулой
или
где L — нормировочная длина, 
Предположим теперь, что
Тогда
где U — константа. Мы видим, что если 
то приближенно выполняется условие когерентности первого порядка.
Согласно (2.4.19) можно вычислить корреляционную функцию второго порядка:
Присутствие здесь члена 
показывает, что условие когерентности второго порядка никогда не выполняется.
Как мы говорили выше, этим выражением определяется скорость счета задержанных совпадений пар фотонов. Эксперимент подтверждает найденную зависимость этой величины от s (опыт Хэнбери — Брауна — Твисса) [12].
