3.6.2. Физический заряд электрона.

В предыдущем пункте мы разъяснили, что благодаря взаимодействию электрона с электромагнитным полем масса электрона не совпадает с постоянной входящей в уравнения квантовой электродинамики. Теперь мы покажем, что и постоянная , входящая в уравнения квантовой электродинамики в матрицу рассеяния, не есть в действительности заряд электрона, и установим соотношение между постоянной и зарядом реального электрона.

Физический заряд электрона можно определить с помощью исследования рассеяния электромагнитных волн малой частоты на покоящемся электроне. Этот процесс является чисто классическим, и никакие квантовые поправки не должны иметь места в предельном случае Поэтому естественно определить физический заряд электрона как коэффициент, входящий в формулу Томсона для эффективного сечения рассеяния фотона при

Мы покажем, что точное решение этой задачи в квантовой электродинамике приводит к формуле Томсона со следующим значением заряда выраженного через постоянную :

    (3.6.11)

Для доказательства [12] этого фундаментального положения рассмотрим всевозможные диаграммы, описывающие рассеяние

фотона электроном. Разделим такие диаграммы на три класса (рис. 3.30): 1) диаграммы, которые могут быть сведены к скелетной диаграмме рис. 3.21; 2) диаграммы, представляющие собой компактные ЭСЭД, к электронным линиям которых присоединены две внешние фотонные линии; 3) диаграммы, в которых внешние фотонные линии присоединены к замкнутым электронным петлям

Рис. 3.30.

Диаграммы последнего типа не дают вклада в матричный элемент. Действительно, те из диаграмм, которые содержат петли с нечетным числом вершин, можно не рассматривать на основании теоремы Фарри. Диаграммы же этого типа, содержащие четное число вершин (см., например, рис. 3.30, 3), при связаны соотношением (3.5.14) с диаграммами, содержащими петли с нечетным числом вершин, и также не дают вклада в матричный элемент.

Матричный элемент, соответствующий диаграмме первого типа, может быть, очевидно, представлен в виде

причем, так как мы рассматриваем рассеяние фотона нулевой частоты покоящимся электроном, то в этом выражении нужно положить

где выбирая скалярный потенциал равным нулю, мы можем считать, что

Рассмотрим теперь матричный элемент, соответствующий диаграмме второго типа. Используя тождество Уорда, его можно представить в виде

где согласно (3.5.12) и (3.5.13)

Замечая, что

имеем

и, следовательно,

Таким образом, сумма матричных элементов равна

Подставим теперь сюда

где — две скалярные функции исчезающие, согласно (3.6.1), при в качестве массы входит , а не . В результате мы получим

Так как то второе слагаемое исчезает, первое же может быть, очевидно, переписано в виде

Это выражение только множителем Z отличается от элемента -матрицы, соответствующего рассеянию фотона нулевой частоты покоящимся электроном в первом приближении теории возмущений (см. § 4.2). С другой стороны, в первом приближении теории возмущений мы получим для сечения рассеяния фотона нулевой частоты формулу Томсона, в которую входит заряд е. Поэтому, как и утверждалось, если учитывать высшие приближения, то для сечения рассеяния фотонов нулевой частоты покоящимся электроном мы получим формулу Томсона, в которую, однако, будет входить в качестве заряда не , а