3.4.2. Суммирование по состояниям поляризации электронов и фотонов.

Во многих случаях нас не интересует определенное состояние поляризации возникающих частиц (т. е. ориентации спинов электронов и направления поляризации фотонсв). В этих случаях вероятность должна быть просуммирована по возможным состояниям поляризации частиц в конечном состоянии. Если, кроме того, в начальном состоянии частицы не поляризованы, то вероятность должна быть еще усреднена по поляризациям частиц в начальном состоянии.

Покажем, как производится суммирование и усреднение по Поляризациям частиц. Рассмотрим сначала тот случай, когда в начальном и в конечном состояниях имеется только один электрон.

Амплитуда рассеяния имеет тогда вид , где спинорные амплитуды электрона в начальном и конечном состояниях и Q — некоторая матрица. Нас интересует величина — — проекции спина электрона в начальном и конечном состояниях), которая может быть найдена согласно (1.1.40):

    (3.4.8)

где

Аналогично, если в начальном и конечном состояниях имеется только один позитрон, то

где — спинорные амплитуды позитрона в начальном и конечном состояниях - импульсы позитрона в этих состояниях). В этом случае согласно п. 1.1.6

    (3.4.9)

Наконец, если одно из состояний является электронным, а другое позитронным, то, очевидно,

и соответствующие величины определяются формулами

    (3.4.10)

где — 4-импульсы электрона и позитрона.

Аналогичным образом можно производить суммирование по поляризации и в более сложных случаях, когда в процессе участвует несколько электронов и позитронов. При этом нужно пользоваться приведенными формулами, считая, что матрица Q содержит сама по себе спинорные амплитуды, и производить суммирование по относящимся к ним поляризациям снова по формулам (3.4.8) — (3.4.10).

Покажем теперь, как производить суммирование и усреднение по поляризациям фотонов. Пусть, например, в конечном состоянии имеется фотон с импульсом к и поляризацией X

. Если в состояниях имеется электрон, то можно представить в виде

где — некоторые матрицы и (-единичный вектор поляризации фотона). Поэтому

где Суммирование здесь производится по но его можно расширить и считать, что , так как продольные и скалярные фотоны, не имеющие физического смысла, не внесут вклада в это выражение. Замечая, что

получим окончательно

    (3.4.11)

Это важное соотношение показывает, что суммирование по двум поперечным поляризациям фотона может быть заменено суммированием по четырем поляризациям, включающим поляризации продольного и скалярного фотонов.

Суммирование по четырем поляризациям производится с помощью формул

где - скаляр, а а, b, с — 4-векторы и

Если выражение (3.4.11) должно быть просуммировано по ориентациям спина электрона, то это может быть сделано с помощью формул (3.4.8) — (3.4.10).

Соотношения, аналогичные (3.4.11), могут быть записаны, очевидно, и для произвольного числа фотонов.