5.7.2. Дважды логарифмическая асимптотика сечения рассеяния электрона во внешнем поле.

Перейдем теперь к определению сечения рассеяния электрона во внешнем поле в случае большого переданного импульса Сечение в этом случае будет определяться в основном вершинной функцией при , где — 4-импульсы электрона в начальном и конечном состояниях, Поэтому существенными, как следует из результатов предыдущего пункта, будут диаграммы с внутренними фотонными линиями, охватывающими «точку приложения» внешнего поля (такие диаграммы см. на рис. 5.18).

Покажем, как производится выделение дважды логарифмических членов в матричных элементах, соответствующих этим диаграммам. Рассмотрим прежде всего матричный элемент, соответствующий диаграмме 1:

    (5.7.19)

(Мы пользуемся обозначениями п. 5.4.1.)

Так как внешние электронные линии соответствуют свободному электрону, т. е. то написанный интеграл будет расходиться в области малых импульсов виртуального фотона. Чтобы избежать этой расходимости, можно, как мы видели в п. 5.4.3, ввести конечную массу фотона X; но можно поступить и иначе, а именно: вначале считать, что величины отличны от нуля и только после учета процессов излучения электроном реальных мягких фотонов положить . Такой метод устранения инфракрасной расходимости позволяет воспользоваться методикой нахождения дважды логарифмической асимптотики, развитой в п. 5.7.1.

Пренебрегая в числителе подынтегрального выражения (5.7.19) величиной k по сравнению с и переходя от k к новым переменным интегрирования

представим в виде

    (5.7.20)

где — матричный элемент, определяющий рассеяние электрона

в основном приближении:

и

(переменная связана с соотношением ). В знаменателе подынтегрального выражения для J мы сохранили, в отличие от аналогичного выражения для члены, пропорциональные у, так как величины , введенные нами для устранения инфракрасной расходимости, предполагаются очень малыми, именно, мы считаем, что

В интеграле по основной вклад дает в соответствии с результатами п. 5.7.1 полувычет в точке Остающиеся после интегрирования по интегралы по и и v берутся в смысле главного значения:

    (5.7.22)

(мы считаем здесь для простоты, что

Выполнив интегрирование по одной из переменных, можно выразить J через функцию Спенса

Замечая, что при функция получим в интересующем нас случае

    (5.7.24)

Если то и мы приходим к результату (5.7.9).

Повторяя далее выкладки предыдущего пункта, легко показать, что каждой из диаграмм приближения соответствует матричный элемент

Поэтому матричный элемент приближения равен

и, следовательно, суммарный матричный элемент процесса рассеяния электрона во внешнем поле равен

    (5.7.25)

Отсюда следует, что дифференциальное сечение упругого рассеяния электрона во внешнем поле с учетом радиационных поправок в дважды логарифмическом приближении определяется формулой [29]

    (5.7.26)

где — дифференциальное сечение упругого рассеяния электрона в первом приближении теории возмущений.

Мы должны теперь устранить в сечении рассеяния инфракрасную расходимость. Для этого нужно прибавить к сечение рассеяния электрона с излучением мягких фотонов. Этому процессу соответствуют диаграммы с волнистыми фотонными линиями, исходящими из внешних электронных линий (см. п. 5.4.4). Простейшие диаграммы такого типа, соответствующие излучению одного мягкого фотона, изображены на рис. 5.7, 4 (заштрихованный блок изображает основной процесс рассеяния и радиационные поправки к нему).

Матричный элемент, определяющий излучение одного мягкого фотона с 4-импульсом k и поляризацией , можно представить, согласно результатам п. 5.4.4, в виде

где определяется формулой (5.7.1) и, в соответствии с используемым нами в этом разделе методом описания инфракрасной расходимости, мы сохранили в знаменателях слагаемые

Просуммировав квадрат модуля по поляризациям фотона и проинтегрировав по энергии фотона со в пределах от до найдем дифференциальное сечение рассеяния электрона во внешнем поле с потерей энергии, не превосходящей :

    (5.7.28)

где

— энергия электрона определяется формулой (5.7.26).

Аналогичным образом можно получить сечение рассеяния электрона с излучением мягких фотонов с суммарной энергией, не превосходящей :

( входит сюда из-за неразличимости фотонов).

В интересующем нас случае дважды логарифмической асимптотики сечения рассеяния можно в этом выражении все верхние пределы интегралов считать равными . Поэтому

Суммируя это выражение по , найдем дифференциальное сечение рассеяния электрона во внешнем поле с потерей энергии, не превосходящей Де, в дважды логарифмическом приближении

    (6.7.30)

где — сечение упругого рассеяния, и — угол рассеяния). Эта важная формула справедлива при выполнении условий

Заметим, что формула (5.7.30) находится в соответствии с общей формулой (5.4.20), определяющей структуру сечения рассеяния с излучением мягких фотонов. Мы видим, что в дважды логарифмическом приближении величина входящая в формулу (5.7.30), совпадает с сечением рассеяния в первом приближении теории возмущений.