3.5.4. Функции Грина как вакуумные средние.

В предыдущем пункте мы определили фуикции Грина как величины, соответствующие эффективным электронным и фотонным линиям, т. е. линиям со всевозможными собственно энергетическими вставками. Дадим теперь строгие определения функциям Грина, связав их с операторами полей.

Напомним прежде всего, что функции в которые, согласно (3.5.1) и (3.5.2), переходят функции в предположении об отсутствии взаимодействия между полями, представляют собой средние значения хронологических произведений операторов свободных полей в состоянии вакуума. Поэтому естественно ожидать, что функции , учитывающие взаимодействие между полями, должны определяться средними от хронологических произведений операторов

взаимодействующих полей, т. е. операторов полей в гейзенберговском представлении. И действительно, как мы далее убедимся, функции представляют собой компоненты Фурье функций

где — вектор состояния вакуума взаимодействующих полей.

Эти функции принадлежат к функциям типа

    (3.5.16)

где — операторы полей в гейзенберговском представлении, носящем общее название квантовоэлектродинамических функций Грина.

Данное выше определение функции — фотонной функции Грина — относится к тому случаю, когда отсутствует внешнее электромагнитное поле. Если же такое поле имеется (оно рассматривается не как оператор, а как с-число), то фотонная функция Грина определяется следующим образом:

    (3.5.17)

Ясно, что в отсутствие внешнего поля и мы приходим к определению (3.5.16). В этом случае, очевидно, функции Грина будут зависеть не от координат порознь, а только от их разностей.

Чтобы связать функции Грина с матрицей рассеяния, нужно выразить их через операторы полей в представлении взаимодействия. Для этого служит общая формула

    (3.5.18)

где (доказательство ее мы не будем приводить). С помощью нее можно убедиться в эквивалентности двух определений функций Грина — аналитического и графического. Заметим с этой целью, что каждому процессу взаимодействия электронов и фотонов соответствует определенное нормальное произведение операторов полей, и поэтому матрица рассеяния может быть представлена в виде разложения по различным нормальным произведениям операторов полей

    (3.5.19)

где некоторый спинор ранга и тензор ранга, т. е. величина, содержащая спинорных и v векторных индексов (для краткости они опущены), причем, очевидно,

Такое разложение можно получить из разложения матрицы рассеяния в ряд по степеням заряда электрона, если в каждом из членов этого ряда выделить определенное нормальное произведение и сложить множители, стоящие перед ним, во всех членах ряда. Ясно, что коэффициент определяет точное значение (с учетом высших приближений теории возмущений) матричного элемента, соответствующего процессу, в котором участвует в начальном и конечном состояниях электронов и позитронов и v фотонов.

Из разложения (3.5.19) и графической интерпретации элементов матрицы рассеяния следует, очевидно, что введенные в п. 3.5.2 электронная и фотонная собственно энергетические функции представляют собой компоненты Фурье (следует иметь в виду, что в отсутствие внешнего поля аргументы в этих функциях входят не порознь, а в виде разностей .

Чтобы убедиться в эквивалентности обоих определений функций Грина, достаточно подставить разложение (3.5.19) в (3.5.18). Рассмотрим сначала электронную функцию Грина

(для простоты мы считаем, что внешнее электромагнитное поле отсутствует). Входящие сюда смешанные Г-произведения можно разложить, согласно правилам Вика, по -произведениям. Так как среднее от любого -ироизведения по состоянию вакуума равно нулю, то все члены в разложении S по нормальным произведениям, кроме выписанных здесь, не дадут вклада в . Используя далее равенства

получим

или в импульсном представлении

(спинорные индексы опущены). Это соотношение совпадает с (3.5.1), откуда и вытекает эквивалентность двух определений электронной функции Грина

Поступая аналогично с фотонной функцией Грина, получим

или в импульсном представлении

что совпадает с (3.5.2).

Разъясним в заключение этого пункта понятие вершинной функции. Введем для этого функцию Грина

В отсутствие внешнего электромагнитного поля (мы будем для простоты рассматривать далее этот случай) второе слагаемое обращается в нуль и становится функцией двух аргументов ). Используя общее выражение (3.5.16) для функций Грина, связывающее их с операторами полей в представлении взаимодействия, и разложение матрицы рассеяния (3.5.19), легко убедиться, что

или в компонентах Фурье

(спинорные индексы опущены).

Входящая в эту формулу величина представляет собой, очевидно, сумму величин, соответствующих совокупности всех вершинных диаграмм — как компактных, так и некомпактных. В этом отношении формула (3.5.20) аналогична формулам (3.5.1) и (3.5.2) для функций Грина в которые входят функции представляющие собой суммы величин, соответствующих всем ЗСЭД и ФСЭД — как компактным, так и некомпактным.

Рассматривая электронную и фотонную функции Грина, мы перешли от функций к массовому и поляризационному операторам представляющим собой суммы величин, соответствующих только компактным ЭСЭД и ФСЭД. Подобно этому мы можем перейти от функции к вершинной функции ), представляющей собой сумму величин, соответствующих только компактным ВД. Формула (3.5.20) примет тогда вид

Эта формула означает, что функции v) (р, р) соответствует блок, содержащий две эффективные электронные линии, одну эффективную фотонную линию и одну эффективную вершину (рис. 3.28).

В п. 3.5.3, исходя из графических определений функций Грина, были выведены уравнения для электронной и фотонной функций Грина. В эти уравнения входит, однако, неизвестная вершинная функция, уравнение для которой содержит бесконечное число интегральных операторов соответственно бесконечному числу неприводимых вершинных диаграмм. Это значит, что уравнение для вершинной функции, а следовательно, и уравнения для электронной и фотонной функций Грина нельзя сформулировать в замкнутом виде, используя только операции дифференцирования и интегрирования по пространственно-временным координатам.

Рис. 3.28.

Однако уравнения для функций Грина могут быть сформулированы в замкнутом виде, если использовать операцию функционального дифференцирования [10]. Для этого следует ввести в рассмотрение, наряду с оператором плотности электронного тока j, с - числовую плотность сторонних токов и считать, что гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия имеет вид

Благодаря включению стороннего тбка матрица рассеяния, а следовательно, и квантовоэлектродинамические функции Грина становятся некоторыми функционалами При этом удается связать с помощью функциональной производной вершинную функцию с электронной функцией Грина. Именно, оказываются справедливыми соотношения

(спинорные индексы и аргументы опущены), а также соотношение

    (3.5.22)

где

Установим теперь уравнения для электронной и фотонной функций Грина [10]. Будем для этого исходить из определений (3.5.15)

и (3.5.17) этих функций, в которых операторы полей в гейзенберговском представлении удовлетворяют уравнениям

    (3.5.23)

Используя первое из этих уравнений и замечая, что имеем

Учитывая (3.5.21), получим

а так как , то

Используя снова (3.5.21), можно представить это уравнение в виде

    (3.5.25)

где

Величина как следует из сравнения с формулой (3.5.9), представляет собой массовый оператор в координатном представлении, уравнение же (3.5.24) по существу совпадает с уравнением (3.5.10) для только первое написано в координатном, а второе — в импульсном представлении.

Аналогичным образом можно получить уравнение для фотонной функции Грина

    (3.5.26)

где — поляризационный оператор в координатном представлении. Это уравнение по существу совпадает с уравнением (3.5.10) для только написано оно в координатном представлении.

Заметим, Что взаимодействие между полями не оказывает влияния на продольную часть фотонной функции Грина, так что имеет место равенство

    (3.5.27)

а так как то

Если внешнее поле отсутствует, то в импульсном представлении соотношение (3.5.27) имеет вид

    (3.5.28)

Отсюда вытекает свойство поперечности поляризационного оператора

    (3.5.29)

означающее в свою очередь, что имеет вид

    (3.5.30)

где — некоторая скалярная функция от

Так как продольная часть фотонной функции Грина не затрагивается взаимодействием между полями, то ее можно вовсе не рассматривать, а ограничиться рассмотрением только поперечной части фотонной функции Грина. Эта часть, которую мы будем обозначать через удовлетворяет условию и имеет, очевидно, вид

где — некоторая скалярная функция .