3.6.3. Перенормировка функций Грина и вершинной функции.

Выяснив смысл постоянной Z, мы должны будем доказать, что в выражении для элементов S-матрицы, соответствующих любым квантовоэлектродинамическим процессам с учетом высших приближений теории возмущений, Z всегда входит только в комбинации , где Z — константа, связывающая в (3.5.3).

Введем с этой целью перенормированные функции Грина и перенормированную вершинную функцию

а также функции

    (3.6.13)

Легко показать, что

    (3.6.14)

где

Действительно, используя (3.5.12), имеем

    (3.6.15)

Поэтому

и, следовательно, формула (3.6.14) приобретает вид

Подставляя сюда мы придем к формуле (3.6.13) для Г, что и подтверждает справедливость (3.6.14).

Докажем далее, что перенормированная электронная функция Грина удовлетворяет уравнению

    (3.6.16)

где — регуляризованный массовый оператор, определяемый формулой

    (3.6.17)

(для более симметричной формы записи мы сохранили здесь величину , равную нулю). Заметим, что это выражение можно представить также в виде

    (3.6.18)

Чтобы доказать (3.6.16), воспользуемся уравнением (3.5.7) для электронной функции Грина, в котором, однако, произведем перенормировку массы электрона, т. е. заменим массовый оператор перенормированным по массе оператором и под будем понимать

Такое перенормированное по массе уравнение для имеет вид

    (3.6.19)

Переписав это уравнение в форме

и вспоминая (3.6.12), получим

где

Но последняя величина в силу (3.6.4) совпадает с величиной (3.6.17).

Докажем, наконец, что перенормированная поперечная фотонная функция Грина удовлетворяет уравнению

    (3.6.20)

где — регуляризованный поляризационный оператор — определяется формулой

    (3.6.21)

напомним, что величина связана с поляризационным оператором соотношением . Для доказательства (3.6.20) воспользуемся уравнением (3.5.8) для поперечной части фотонной функции Грина

    (3.6.22)

Функция имеет полюс при , поэтому естественно предположить, что и функция также имеет полюс при

где Z — та же константа, которая связывает в (3.5.3).

С другой стороны, формула (3.6.22) дает при

Поэтому должны выполняться равенства

    (3.6.23)

Следует подчеркнуть, что если бы первое из этих равенств не выполнялось, то фотонная функция Грина имела бы полюс не при а при что означало бы ненулевую массу фотона.

Подставляя (3.5.21) в (3.6.20) и переходя к неперенормированной фотонной функции Грина, получим

Но , поэтому это равенство совпадает с исходным уравнением (3.5.8).

Регуляризованный поляризационный оператор удобно представить в виде

    (3.6.24)

где

    (3.6.25)

Функция аналогична функции

и допускает простую графическую интерпретацию. Именно, она представляет собой сумму величин, соответствующих компактным трехфотопным вершинным диаграммам, т. е. диаграммам, заканчивающимся тремя фотонными линиями и происходящим от всех компактных ФСЭД. (Напомним, что при вычислении элементов -матрицы трехфотонные вершинные диаграммы можно не рассматривать, так как вклады в -матрицу от двух трехфотонных вершинных диаграмм, отличающихся только направлением замкнутых электронных петель, взаимно компенсируются в силу теоремы Фарри.)

Рис. 3.31.

Простейшая трехфотонная вершинная диаграмма трехфотонная вершинная диаграмма третьего порядка — изображена на рис. 3.31. Соответствующая ей величина , где — -импульсы фотонных линий, сумма которых равна нулю, просто связана с величиной соответствующей ФСЭД порядка (см. рис. 3.12,1). Действительно, считая, что и используя соотношение (3.5.14), легко убедиться, что

    (3.6.26)

Это соотношение может быть обобщено на произвольные компактные ФСЭД и соответствующие им трехфотонные вершинные диаграммы.

Таким образом, каждой компактной ФСЭД У можно сопоставить совокупность трехфотонных вершинных диаграмм. Если обозначает сумму величин, соответствующих этим

трехфотонным диаграммам, то величина

будет связана с поляризационным оператором соотношением

в соответствии с (3.6.25). По аналогии с можно ввести трехфотонную вершинную функцию

    (3.6.27)

и перенормированную трехфотонную вершинную функцию

    (3.6.28)