1.5.3. Движение электрона в кулоновском поле ядра.

Одно из важнейших применений уравнение Дирака находит себе при исследовании движения электрона в поле ядра. Это поле не является строго сферически-симметричным. Отклонение от сферической симметрии связано с наличием у ядер электрического квадрупольного и магнитного дипольного, а также высших мультипольных моментов. Если пренебречь этими эффектами, обусловливающими сверхтонкую структуру электронных уровней, и считать поле ядра сферически-симметричным, то можно рассматривать состояния электрона с определенными значениями энергии, момента и четности. При этом волновые функции таких состояний имеют вид (1.5.3) и задача сводится к решению уравнений для радиальных функций (1.5.4).

Поле вне ядра совпадает с полем точечного заряда, т. е.

где заряд ядра и — радиус ядра. Мы рассмотрим задачу в том приближении, когда можно пренебречь конечными размерами ядра, и будем считать, что это выражение для справедливо вплоть до

Уравнения для радиальных функций в таком поле имеют вид

В соответствии с характером асимптотического поведения радиальных волновых функций (1.5.5) будем искать решение этих уравнений в виде

где . Подстановка этих выражений в (1.5.12) приводит к следующим уравнениям для функций

где

Выясним сначала поведение решений этих уравнений при . В этом случае можно положить

где — константы, связанные, как следует из (1.5.14), соотношениями

Приравняв нулю детерминант этой системы, получим

    (1.5.15)

(знак корня должен быть выбран положительным, чтобы функции ) были конечными при

Вернемся теперь к системе (1.5.14). Исключив из нее и вводя вместо функцию ,

получим для уравнение

Сравнение этого уравнения с уравнением

для вырожденной гипергеометрической функции

показывает, что

и, следовательно,

    (1.5.16)

где С — некоторая константа. Легко убедиться далее, что

    (1.5.17)

Формулы (1.5.13), (1.5.16) и (1.5.17) определяют радиальные функции независимо от того, будет ли или . Если , то в этом случае энергетический спектр будет, как мы уже знаем, дискретным. Чтобы найти возможные значения энергии, нужно воспользоваться условием конечности функций при

Для гипергеометрической функции справедливо асимптотическое представление при

Из него следует, что не будет содержать экспоненциально нарастающего члена, если . В применении к функциям это условие дает

Если , то второе условие совпадает с первым (в частности, это имеет место всегда при ). Так как полюсами гамма-функции являются целые отрицательные числа и нуль, то мы получаем

откуда

где . Если , то, как легко видеть, (при этом второе условие не выполняется). Мы видим, таким образом, что

Формула (1.5.18) определяет тонкую структуру уровней водородоподобного атома (при число называется радиальным квантовым числом, при радиальным квантовым числом называется

Если то разложение (1.5.18) по этому параметру с точностью до дает

где (это число совпадает с главным квантовым числом нерелятивистской квантовой механики). Первый член в (1.5.19) соответствует формуле Бальмера.

Формулу (1.5.19) можно переписать также в виде

где — радиус первой боровской орбиты,

Характерной особенностью формулы для тонкой структуры является то, что в нее входит абсолютное значение Поэтому все уровни энергии, кроме наинизшего, двукратно вырождены.

В частности, совпадают уровни

и

Заметим, что формула (1.5.18), основанная на применении понятия заданного внешнего поля, не является точной. Поправки к ней снимают вырождение по Величина этих поправок при малых Z по порядку величины равна Отсюда видно, что использование формулы (1.5.18) для водорода с точностью, превышающей точность разложения (1.5.19), не имеет смысла.

Приведем окончательные выражения для радиальных функций дискретного спектра:

    (1.5.20)

где

Эти функции нормированы согласно условию