5.6.4. Точное выражение для лагранжиана произвольного медленно меняющегося электромагнитного поля.

В предыдущем пункте была найдена радиационная поправка к лагранжиану электромагнитного поля, пропорциональная четвертой степени полей. Мы определим теперь лагранжиан для произвольного сколь угодно сильного электромагнитного поля, удовлетворяющего единственному условию (5.6.12) [25]. Для решения этой задачи удобно представить себе электронно-позитронный вакуум как систему электронов, заполняющих уровни с «отрицательной» энергией. Такие электроны мы будем называть вакуумными. Ясно, что добавка w к классической плотности энергии электромагнитного поля обусловленная существованием электронно-позитронного вакуума, совпадает с плотностью энергии вакуумных электронов за вычетом их потенциальной энергии во внешнем электрическом поле:

    (5.6.24)

где — волновая функция вакуумного электрона в состоянии — скалярный потенциал внешнего поля (функции нормированы на единичный объем; где k — спинорный индекс).

Покажем, что второе слагаемое в этом выражении — плотность потенциальной энергии вакуумных электронов — связано с первым слагаемым, т. е. с полной плотностью энергии вакуумных электронов (будем обозначать ее через ) соотношением

    (5.6.25)

где Е — напряженность электрического поля.

Напомним, что если квантовомеханический оператор энергии Н зависит от некоторого параметра , то при бесконечно малом изменении к на собственное значение энергии испытывает изменение

В частности, если не зависят от , то

Иными словами, если скалярный потенциал содержит постоянный множитель X, то имеет место соотношение

где интегрирование совершается по всему объему. В интересующем нас случае постоянных полей можно рассматривать электрическое поле Е как параметр X и, кроме того, можно перейти от полной энергии к плотности энергии. В результате мы придем к соотношению (5.6.25).

Из (5.6.24) следует, что Сравнивая это равенство с соотношением мы приходим кзаключению, что радиационная добавка к классической плотности функции Лагранжа совпадает с точностью до знака с полной плотностью энергии электронно-позитронного вакуума при наличии внешнего поля:

    (5.6.26)

Так как, с другой стороны, L является функцией только двух независимых инвариантов то для нахождения L достаточно определить в двух специальных случаях, например, когда имеется постоянное и однородное магнитное поле Н и когда наряду с Н имеется параллельное ему электрическое поле с потенциалом и k — константы). Найдем прежде всего энергию в постоянном и однородном магнитном поле . Согласно результатам § 1.6 возможные значения энергии вакуумного электрона в магнитном поле равны

где — проекция импульса электринь на направление магнитного поля (соответствующие волновые функции определяются формулами (1.6.2). Поэтому плотность энергии вакуума, которую мы будем обозначать через может быть представлена в виде

где . Замечая, что перепишем в виде

Используя далее формулу суммирования Эйлера

где — числа Бернулли, и полагая в ней получим

где .

Мы должны теперь регуляризовать величину . Эта регуляризация может быть произведена следующим образом. Во-первых, следует отбросить интеграл как не содержащий напряженности магнитного поля и представляющий собой энергию свободных вакуумных электронов и, во-вторых, следует отбросить первое слагаемое с в бесконечной сумме, так как оно приводит к энергии, пропорциональной , которая уже включена в невозмущенную энергию поля (отбрасывая это слагаемое, мы, по существу дела, производим перенормировку напряженности поля, связанную с перенормировкой заряда).

Итак, регуляризовапное выражение для плотности энергии w имеет следующий вид:

Замечая, что

где гамма-функций, имеем

а так как

то

Сравнивая это выражение с разложением

    (6.6.30)

найдем окончательно

    (5.6.31)

где

Введем теперь в рассмотрение наряду с магнитным полем параллельное ему электростатическое поле с потенциалом Разложим в ряд по степеням (или, что то же самое, по степеням — напряженность электрического поля, ):

    (5.6.32)

Повторяя выкладки, приводящие к (5.6.27), получим:

где поправка к энергии электрона в магнитном поле, пропорциональная . Рассмотрим прежде всего слагаемое . Пользуясь теорией возмущений, легко показать, что

(мы разложили в ряд по степеням k и сохранили только члены второго порядка). Полагая в формуле суммирования Эйлера (5.6.28)

найдем

Регуляризация этого выражения сводится к отбрасыванию первого слагаемого, содержащего интеграл и пропорционального . Отбрасывая это слагаемое, мы, как и выше, при вычислении энергии в магнитном поле, производим, по существу дела, перенормировку заряда.

Используя разложение (5.6.30) для получим окончательно следующее выражение для регуляризованного значения

    (5.6.33)

Поступая аналогичным образом, можно показать, что

Складывая это выражение с выражениями (5.6.33) и (5.6.31) для найдем регуляризованное значекне плотности энергии

    (5.6.34)

Замечая, наконец, что

и используя (5.6.26), получим следующее выражение для L':

    (5.6.35)

Легко проверить, что в случае слабых полей эта формула сводится к (5.6.20).

Рассмотрим теперь сильные поля. Пусть сначала Представим L в виде

Функция стремится к нулю при и ведет себя при

где Легко убедиться, что асимптотически при для функций с таким поведением справедливо соотношение

Отсюда вытекает следующее асимптотическое выражение для при

    (5.6.36)

Если имеется только электрическое поле, то формула (5.6.35) приобретает вид

Однако, этим выражением нельзя непосредственно воспользоваться, так как подынтегральное выражение имеет полюсы при Поэтому следует сместить путь интегрирования

в верхнюю полуплоскость В результате L приобретает мнимую добавку, которая, как легко показать, имеет вид

Эта величина имеет простой физический смысл, а именно: она представляет собой вероятность образования -пары полем, отнесенную к единице времени и единице объема.

Реальная часть лагранжиана в случае сильного электрического поля имеет вид

Таким образом, отношение радиационной поправки U к классической плотности функции Лагранжа при больших напряженностях полей растет только логарифмически с полем.

Поэтому нелинейность уравнения электродинамики будет малой даже в том случае, когда поле значительно больше значения Если в качестве Е взять поле на «краю электрона» то отношение будет равно

т. е. и в этом случае