ГЛАВА 2. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЕЙ

§ 2.1. Квантовая механика фотона

2.1.1. Уравнения Максвелла в форме Майорана.

Перейдем теперь к изучению квантовомеханических свойств фотона. В основе описания свойств фотона должны, естественно, лежать уравнения Максвелла для пустоты. Поэтому эти уравнения играют для фотона такую же роль, как уравнение Дирака для свободного электрона, тем более, что уравнение Дирака можно рассматривать не только как уравнение движения отдельного электрона, но и как волновое уравнение, описывающее определенное поле, а именно электронно-позитронное поле.

Первый аспект—одночастичный — казалось бы, отсутствует в уравнениях Максвелла. В действительности, однако, это не так. Дело в том, что как уравнения Максвелла, так и уравнение Дирака (для свободной частицы) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и уравнениям Максвелла может быть придана форма уравнения Дирака для безмассовой частицы. Введем с этой целью вместо векторов электрического и магнитного (Н) полей векторы

Тогда уравнения Максвелла

примут вид

где s — вектор-матрица с компонентами

или

    (2.1.3)

Уравнения (2.1.1) аналогичны уравнениям Вейля (1.2.13) для нейтрино. Впервые в такой форме уравнения Максвелла были представлены Майорана [1]. Вместо спиноров в них входят векторы , а роль спиновых матриц играют матрицы s. Поэтому естественно интерпретировать s как оператор спина фотона. Действительно, при бесконечно малом преобразовании Лоренца испытывают преобразование

где — бесконечно малые угол поворота и скорость движения одной системы отсчета по отношению к другой. Эти формулы аналогичны формулам преобразования биспинора

Отметим также, что при пространственном отражении переходят друг в друга как в одном, так и в другом случае.

Операторы как легко видеть, удовлетворяют перестановочным соотношениям квантовомеханического момента

Из (2.1.2) следует, что

Вспоминая, что , отсюда можно заключить, что спин фотона равен