5.3.4. Рассеяние фотона вблизи резонанса.

В п. 4.2.7 при рассмотрении рассеяния фотона связанным электроном мы видели, что в случае резонанса теория первого приближения становится неприменимой. Обычный метод учета радиационных поправок здесь также неприменим, так как он базируется на разложении матрицы рассеяния в ряд по степеням а, тогда как в рассматриваемом случае, как нетрудно видеть, разложение в ряд производится по степеням величины , которая обращается при резонансе в бесконечность. Поэтому мы должны учесть радиационные поправки на более ранней стадии вычислений, которой в упрощенном выводе формулы (4.2.44) соответствует введение комплексных частот.

Из вывода формулы (4.2.43) для сечения рассеяния фотона легко заключить, что резонансный знаменатель в матричном элементе связан со структурой функции содержащей, согласно (4.2.44), в знаменателе . Поэтому следует ожидать, в чем мы и убедимся, что замена функции точной функцией Грина электрона удовлетворяющей уравнению

    (5.3.27)

должна приводить к конечным результатам.

Разложим функцию в ряд по полной системе функций представляющих собой пространственные части волновых функций электрона в поле (см. (5.3.9)). Коэффициенты разложения, являющиеся функциями времени, мы разложим в интеграл Фурье. Такое комбинированное разложение имеет вид

    (5.3.28)

Установим уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты разложения Подставим для этого разложение (5.3.28) в интегральное уравнение (5.3.27). Замечая, что

получим следующую систему уравнений для

    (5.3.29)

где

Вводя обозначения

перепишем уравнения (5.3.29) в виде

    (6.3.30)

Считая величину малой и пользуясь методом последовательных приближений, получим

    (5.3.31)

В первом приближении

    (5.3.32)

откуда

    (5.3.33)

Мы видим, что поэтому, в дальнейшем можно пренебречь недиагональными элементами

Найдем теперь . Подставляя (5.3.33) в (5.3.27) и пренебрегая величинами , получим

    (5.3.34)

Это выражение отличается от выражения (4.2.35) для функции знаменателями дробей, стоящих под знаком интеграла. Величина , входящая в совпадает, очевидно, с величиной определяющей радиационное смещение и ширину уровня (см. (5.3.13)):

Так как эта величина комплексная, то знаменатели дробей в (5.3.34) не могут обратиться в нуль. Подставив выражение (5.3.34) вместо в формулу (4.2.37), мы получим сечение рассеяния фотона, имеющее вид (4.2.35).