A.2. Метод размерной регуляризации.

Для регуляризации квантовоэлек-тродинамнческих величин в соответствии с правиламя § 3.7 нужно иметь сначала конечные интегралы, соответствующие этим величинам. Для этого можно, как мы делали в § 3.7, производить интегрирование по большой, но конечной -мерной инвариантной области Q, затем регуляризовать интегралы и после этого устремить размеры области Q к бесконечности.

Но это не единственный метод регуляризации. Можно для обеспечения сходимости интегралов ввести под знак интеграла миожнтель сходимости, например, множитель типа

где константы, и вычислить модифицированный таким образом интеграл по всему -пространству. Затем регуляризуем его и устремляем М к бесконечности. Результаты, полученные обоими методами, естественно, совпадают.

Можно также сделать интеграл конечным, не прибегая к интегрированию по ограниченной области Q и не вводя множитель сходимости, а изменяя размерность пространства интегрирования, от которой, вообще говоря, зависит степень расходимости интеграла. При этом мы приходим к интегралам вида

которые легко вычисляются [3]. Например,

где - функция Эйлера.

Интеграл , определяемый левой частью равенства расходится при . В методе размерной регуляризации величина определяется правой частью равенства при любых значениях и а. Поэтому регуляризация выражения (4, а) считается эквивалентной регуляризации правой части формулы при

Для регуляризации правой части надо иметь в виду, что Г-функция имеет простые полюсы для целых отрицательных значении аргумента:

Регуляризовав правую часть в полученном выражении можно положить затем результате мы получим регулярнзованиое выражение исходной величины.

Рассмотрим регуляризацию этим методом массового и поляризационного операторов 2-го порядка. Массовый оператор 2-го порядка в -мерном импульсном пространстве определяется формулой (5.1.1), в которой следует заменить на и считать, что матрицы Дирака удовлетворяют соотношениям

Поэтому

Используя формулу представим в виде

Интегрирование по k выполняется с помощью и формулы

В результате получим для выражение

Мы видим, что величина , рассматриваемая как функция имеет простые полюсы при . Вблизи значения массовый оператор имеет вид

где — постоянная Эйлера.

Для регуляризации нужно вычесть из два первых члена разложения этой величины по степеням и положить затем

В результате мы придем, как легко видеть, к формуле (5.1.10) для массового оператора.

Проведем теперь регуляризацию поляризационного оператора , определяемого Формулой (5.1.13) с заменой Вычисляя шпур произведения -матриц и используя снова тождество получим после интегрирования по

где . Разлагая далее выражение вблизи значения найдем

Для регуляризации нужно вычесть из величины в фигурной скобке этой формулы ее значение при . В результате мы придем к формуле для

Обратим внимание на то обстоятельство, что в результате такого способа регуляризации мы получаем сразу калибровочио инвариантное выражение для