1.3.5. Борновское приближение.

Если потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним полем может считаться малой (по сравнению с чем, должно быть выяснено в каждом конкретном случае), то решение уравнения Дирака можно искать в виде ряда по степеням А. Перепишем для этого уравнение Дирака в виде

    (1.3.31)

Здесь предполагается, что частица имеет определенную энергию , так что

Полагая

где получим следующую систему уравнений для

    (1.3.33)

Разложение (1.3.32) носит название борновского.

В качестве мы возьмем плсскую волну , где — импульс электрона на бесконечности. Тогда для определения получается рекуррентное соотношение

где — функция Грина уравнения

    (1.3.36)

Легко убедиться, что функция Грина, соответствующая запаздывающим решениям, имеет вид

    (1.3.37)

Действительно,

Разложив функцию Грина (1.3.37) в интеграл Фурье

    (1.3.38)

где получим следующее выражение для суммы первых двух членов (1.3.32):

где

Эта формула определяет волновую функцию в первом борновском приближении.

Сравним борновскую волновую функцию (1.3.39) с эйкональной волновой функцией (1.3.28) в том случае, когда . Считая в выражении (1.3.28) малой потенциальную энергию, получим в первом приближении по

где — компоненты вектора q, ортогональные . Это выражение совпадает с выражением для волновой функции в первом борновском приближении, если Последнее условие эквивалентно условию , так как . Таким образом, эйкональное приближение и первое борновское приближение совпадают, если (это условие эквивалентно малости U) и если, , т. е. велики прицельные параметры.