3.5.3. Уравнения Дайсона для функций Грина и графическое уравнение для вершинной функции.

Попытаемся с этой целью установить уравнения, которым удовлетворяют электронная и фотонная функции Грина и вершиниая функция. Рассмотрим сначала электронную функцию Грина . Согласно (3.5.1) она определяется электронной собственно энергетической функцией которую, как легко видеть, можно выразить через сумму величин, соответствующих всем компактным ЗСЭД с данным импульсом .

Рис. 3.22.

Эту сумму мы будем называть массовым оператором и обозначать через . Графически связь между изображена на рис. 3.22, на котором прямоугольник служит для обозначения массового оператора. Мы видим, что

Суммируя этот бесконечный ряд, мы получим, очевидно,

    (3.5.4)

Подставляя это выражение в (3.5.1), найдем

откуда

    (3.5.5)

и, следовательно,

    (3.5.6)

Это уравнение, связывающее электронную функцию Грина с массовым оператором, называется уравнением Дайсона для электронной функции Грина [8]. Его можно представить также в виде

    (3.5.7)

Рассмотрим теперь фотонную функцию Грина Она определяется, согласно (3.5.2), фотонной собственно энергетической функцией которую, как легко убедиться, можно выразить через сумму величин, соответствующих всем компактным ФСЭД с данным импульсом k.

Рис. 3.23.

Эту сумму мы будем называть поляризационным оператором и обозначать через . Графически связь между изображена на рис. 3.23, из которого следует, что

Суммируя этот бесконечный ряд, получим

Подставляя это выражение в (3.5.2), найдем

    (3.5.8)

или

Это уравнение, называемое уравнением Дайсона для фотонной функции Грина, связывает фотонную функцию Грина с поляризационным оператором так же, как уравнение (3.5.6) связывает электронную функцию Грина с массовым оператором.

Выясним теперь, как в принципе можно определить массовый и поляризационный операторы. Напомним с этой целью, что существует только одна неприводимая ЭСЭД и одна неприводимая

ФСЭД. Поэтому мы имеем только одну Скелетную диаграмму, соответствующую массовому оператору , и одну скелетную диаграмму, соответствующую поляризационному оператору Эти диаграммы изображены на рис. 3.24. Обратим внимание на то, что только одной из вершин этих диаграмм должна сопоставляться вершинная функция (эту вершину мы назвали выше эффективной вершиной), второй же вершине — обычной — должна сопоставляться матрица у. Чтобы понять причину этого, рассмотрим, например, ФСЭД, изображенную на рис. 3.25, которая содержит две ВД Эта диаграмма показывает, казалось бы, что эффективными должны быть обе вершины действительности, однако, мы можем обе внутренние фотонные линии отнести к одной — правой эффективной вершине, левую же вершину считать обычной.

Рис. 3.24.

Рис. 3.25.

Применяя правила написания матричных элементов к скелетным диаграммам, соответствующим массовому и поляризационному операторам, получим, очевидно, следующие выражения для :

Подставляя далее эти выражения в уравнения Дайсона, получим интегральные уравнения для определения функций Грина

В эти уравнения входит неизвестная вершинная функция . Поэтому мы должны еще установить уравнение для зершинной функции. Напомним с этой целью, что вершинная функция представляет собой сумму величин, соответствующих всем компактным ВД с заданными импульсами выходящих электронных

и фотонной линий. Поэтому мы должны, так же как и при установлении уравнений для фотонной и электронной функций Грина, рассмотреть неприводимые ВД и заменить в них все линии эффективными линиями и все вершины эффективными вершинами. Но неприводимых ВД, в отличие от неприводимых ЭСЭД и ФСЭД, существует бесчисленное множество (неприводимые 3-го, 5-го и 7-го порядков изображены на рис. 3.13, 1,2 и 3.15). Поэтому мы получим для интегральное уравнение, содержащее бесконечное число слагаемых:

    (3.5.11)

Таким образом, мы не получили для трех функций определяющих точные матричные элементы квантовоэлектродинамических процессов, замкнутой системы интегральных уравнений. Это обстоятельство связано с тем, что, как будет показано в п. 3.5.4, уравнения для являются в действительности не интегральными, а функциональными.

Заметим в заключение этого пункта, что, хотя связь между вершинной функцией и электронной и фотонной функциями Грина носит крайне сложный характер, в частном случае, когда аргументы в вершинной функции совпадают, имеет место простое соотношение

    (3.5.12)

Это соотношение, называемое соотношением Уорда [9], в соответствии с (3.5.7) эквивалентно соотношению

    (3,5,13)

которое легко доказать. Воспользуемся с этой целью тождеством

    (3.5.14)

допускающим простую графическую интерпретацию. Действительно, так как функция изображается электронной линией, а матрица — вершиной диаграммы, то функция должна изображаться вершинной диаграммой с фотонным импульсом, равным нулю (рис. 3.26).

Отсюда следует, что если мы имеем некоторую компактную ЭСЭД и дифференцируем соответствующую ей величину по импульсу внешней электронной линии (для краткости мы будем говорить просто о дифференцировании ЭСЭД), то этой производной будет соответствовать совокупность диаграмм, каждая из

которых отличается от исходной диаграммы включением в одну из внутренних электронных линий вершины с равным нулю фотонным импульсом. Например, если компактная ЭСЭД имеет вид, изображенный на рис. 3.27 слева, то будет соответствовать совокупность диаграмм, изображенных на рис. 3.27 справа. Эти диаграммы представляют собой, очевидно, полный набор ВД, которые можно построить, присоединяя фотонные линии к различным электронным линиям, образующим рассматриваемую ЭСЭД.

Рис. 3.26.

Если ЭСЭД содержит замкнутую электронную линию, то ее импульсы можно считать не зависящими от импульса внешней электронной линии. Поэтому замкнутая электронная линия не будет участвовать в дифференцировании по импульсу внешней электронной линии. (Это следует также из теоремы Фарри, согласно которой надо учитывать только замкнутые петли с четным числом вершин; дифференцирование же добавляет лишнюю вершину, и поэтому совокупность таких диаграмм можно отбросить.)

Итак, взяв совокупность всех компактных ЭСЭД, мы получим при их дифференцировании но импульсу внешней электронной линии совокупность всех компактных ВД в соответствии с соотношением (3.5.13).

Рис. 3.27.