3.7.4. Регуляризация функций, соответствующих приводимым диаграммам.

В предыдущих пунктах мы показали, что процедура перенормировки массы и заряда электрона позволяет однозначным образом устранить расходимости в функциях, соответствующих неприводимым диаграммам.

Мы покажем теперь, что эта же процедура позволяет однозначно регуляризовать функции, соответствующие приводимым диаграммам.

В этом случае задача сильно усложняется. Действительно, рассмотрим, например, приводимую ВД 11-го порядка, изображенную на рис. 3.33. Ясно, что интегральное выражение , соответствующее этой ВД, расходится при L со как при интегрировании по переменным относящимся к диаграмме как к целому, так и при интегрировании по переменным относящимся к внутренним частям диаграммы, т. е. к функциям

Рис. 3.33.

Чтобы регуляризовать функцию мы произведем регуляризацию функций, соответствующих внутренним частям диаграммы, т. е. заменим в интеграле, определяющем величины их регуляризованными значениями Интеграл по остающимся переменным относящимся к диаграмме как к целому (функции ), предполагаются при этом известными), будет по-прежнему расходящимся, и вопрос сводится к тому, каков характер этой расходимости. Мы покажем, что расходимость будет такой же, как и расходимость вершинной функции третьего порядка т. е. логарифмической. Благодаря этому замечательному обстоятельству регуляризация «внутренних» функций не ухудшает расходимости интеграла, определяющего и последний (после регуляризации «внутренних» функций) может быть регуляризован, так же как и функция путем вычитания из величины

Чтобы убедиться в справедливости сделанного выясним характер асимптотики регуляризованных функций в области больших значений аргументов

(полностью задача о нахождении вида этих функций будет решена в § 5.1). Рассмотрим сначала вершинную функцию . В интересующей нас области можно, очевидно, считать функцию зависящей только от . С другой стороны, интеграл, определяющий расходится при логарифмически. Поэтому из соображений размерности можно заключить, что и, следовательно, регуляризованная функция при ведет себя как

    (3.7.10)

Имея это выражение и используя соотношение

легко заключить, что при функция ведет себя как

Выясним, наконец, характер асимптотики функции . Напомним с этой целью, что трехфотонная вершинная функция логарифмически расходится при Поэтому из соображений размерности следует, что в области больших импульсов и, следовательно, регуляризованная функция имеет вид

Отсюда, используя соотношение (3.6.24)

можно найти при :

    (3.7.13)

Полученные формулы показывают, что если перейти от диаграммы рис. 3.33 к скелетной диаграмме рис. 3.28 с эффективной вершиной и эффективными электронными и фотонной линиями, то соответствующие им величины будут вести себя в области больших импульсов как

Поэтому, как и утверждалось, интеграл, соответствующий скелетной диаграмме в целом:

будет расходиться при так же, как и , т. е. логарифмически, и для его регуляризации достаточно вычесть

Нам остается показать, что изложенный метод постепенного устранения расходимостей — от внутренних неприводимых диаграмм к охватывающим их ЭСЭД, ФСЭД и ВД и от последних ко всей диаграмме в целом — применим в случае сколь угодно сложной приводимой диаграммы.

Так как массовый и поляризационный операторы различных порядков выражаются через вершинные и трехфотонные вершинные функции то достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением функций соответствующих различным приводимым диаграммам.

Переходя от этих приводимых диаграмм к соответствующим неприводимым скелетным диаграммам с эффективными линиями и эффективными вершинами, мы получим для интегралы, в которые будут входить регуляризованные функции более низких порядков, . Но, как можно убедиться, повторяя рассуждения, приводящие к , функции в области больших импульсов q только множителями типа где N — некоторое целое число, будут отличаться от функций Поэтому характер расходимости интегралов, определяющих функции (с регуляризованными «внутренними» частями), будет таким же, как и в случае простейших неприводимых диаграмм, т. е. логарифмическим. Иными словами, после регуляризации «внутренних» частей мы не придем к расходимостям новых типов и сможем произвести окончательную регуляризацию функций так же, как и функций , т. е. путем вычитания из величины и вычитания из величины

Зная регуляризованные функции можно по формулам (3.6.18), (3.6.24) найти регуляризованные массовый и поляризационный операторы , а зная последние, по формулам (3.6.16), (3.6.20) определить перенормированные функции Грина. Существенно подчеркнуть, что по самой идее изложенного метода постепенного устранения расходимостей, базирующегося на последовательном применении процедуры перенормировки

массы и заряда электрона, мы получим для всех перенормированных и регуляризованных функций не замкнутые выражения, а ряды по степеням перенормированного заряда электрона

Имея выражения для перенормированных функций Грина и вершинной функции, можно определить регуляризованное значение матричного элемента, соответствующего произвольной приводимой диаграмме. Действительно, согласно п. 3.6.4, матричный элемент сохраняет свой вид при переходе к перенормированным величинам

    (3.7.14)

а так как перенормированные функции не содержат расходимостей, то регуляризация необходима только в том случае, когда интеграл (3.7.14) расходится. С другой стороны, в области больших импульсов q функции ведут себя с точностью до множителя типа так же, как и функции (речь идет каждый раз о диаграммах сколь угодно большого, но конечного порядка!). Поэтому матричные элементы могут обладать расходимостями только тех типов, которые свойственны величинам, соответствующим неприводимым диаграммам, и, следовательно, применяя к интегралу (3.7.14) в целом процедуру регуляризации величин, соответствующих неприводимым диаграммам, мы однозначным образом устраним встречающиеся расходимости в