§ 1.5. Движение электрона в центральном поле

1.5.1. Разделение переменных в центральном поле.

Изучив состояния свободного электрона, перейдем теперь к изучению движения электрона во внешних электромагнитных полях.

Рассмотрим прежде всего движение электрона в электростатическом поле, обладающем центральной симметрией, . Гамильтониан электрона имеет в этом случае вид

    (1.5.1)

где — потенциальная энергия электрона,

Легко видеть, что гамильтониан Н коммутирует с моментом . Поэтому в центрально-симметричном поле существуют состояния электрона с определенными значениями энергии, квадрата момента и проекции момента на одну какую-либо ось (ось ). Волновые функции таких состояний, которые мы будем обозначать через Удовлетворяют уравнениям

Представив в виде столбца,

получим для уравнения

где . Так как поле является центрально-симметричным, то угловая зависимость спиноров должна быть такой же, как и угловая зависимость соответствующих спиноров в случае свободного электрона. Иными словами, можно положить аналогично (1.4.5)

    (1.5.3)

где шаровой спинор, радиальные функции, которые удовлетворяют уравнениям

Вид этих функций, естественно, зависит от вида функции Мы рассмотрим прежде всего асимптотическое поведение радиальных функций при предполагая, что потенциальная энергия достаточно быстро стремится к нулю с возрастанием . Пренебрегая в (1.5.4) вторыми слагаемыми, а также , получим

откуда

    (1.5.5)

где С — нормировочный множитель, постоянная, определяющаяся из условия конечности функций при

Как показывают эти формулы, поведение функций при существенно зависит от того, будет ли или . Если , то величина X будет чисто мнимой, и оба слагаемых в (1.5.5), будучи ограниченными при имеют физический смысл: именно, одно из них описывает расходящуюся, а другоэ — сходящуюся волну (с определенным моментом). Так как поглощения частиц не происходит, то интенсивности обеих волн должны быть одинаковы, т. е. q по модулю должно равняться единице. Поэтому при можно положить

    (1.5.6)

где — вещественная величина, определяющаяся потенциальной энергией и зависящая от . Она называется фазой на бесконечности. При фаза считается равной нулю.

Используя это представление q, можно переписать асимптотические формулы (1.5.5) при в виде

где и константы связаны между собой соотношением

Итак, при возможны все значения энергии электрона, т. е. при энергетический спектр электрона непрерывен.

Рассмотрим. теперь случай . При этом будет вещественной величиной. Поэтому из условия конечности функций при следует, что величина q, зависящая от энергии, должна обращаться в нуль, Обращение q в нуль возможно при определенных значениях энергии. Поэтому при энергетический спектр будет дискретным.