1.6.4. Парадокс Клейна.

Как мы видели, движение электрона в постоянном и однородном электрическом поле, в отличие от движения в постоянном и однородном магнитном поле, инфинитно в любом направлении. Поэтому состояние электрона в электрическом поле не зависит от каких-либо дискретных параметров, так же как не зависит от дискретных параметров еостояние свободного электрона. Но из-за электрического поля возникает существенное различие между энергетическими континуумами электрона в обоих случаях, а именно изменяются границы верхнего () и нижнего континуумов (рис. 1.4 и 1.5).

Рис. 1.4.

Рис. 1.5.

Если движение происходит вдоль электрического поля Е (по оси ), т. е. если , то границей верхнего континуума станет линия , а границей нижнего континуума — линия — , где — потенциальная энергия электрона . Поворот запретной энергетической зоны, разделяющей верхний и нижний континуумы, которым соответствуют положительные и отрицательные частоты, т. е. электронные и позитронные состояния, приводит к тому, что области, соответствующие этим состояниям, становятся разделенными пространственно. Например, если энергия электрона равна (см.

рис. 1.5), то при состояние будет электронным, а при - позитронным.

Таким образом, в электрическом поле не может быть строгого разделения состояний на электронные и позитронные. Более того, из области частица может перейти, благодаря туннельному эффекту, в область . Этот эффект и называется парадоксом Клейна.

Вероятность перехода определяется (в квазиклассическом приближении) по известной формуле

где (предполагается, что Элементарный расчет показывает, что

Этот результат совпадает с точным результатом, полученным в предыдущем пункте. Такой же формулой определяется вероятность проникновения частицы из области в область

Для того чтобы электроны не могли самопроизвольно переходить в нижний континуум, следует предположить, что все состояния нижнего континуума заняты электронами. Этим определяется электронно-позитронный вакуум. Под влиянием электрического поля электрон из нижнего континуума может перейти в верхний континуум, при этом остается незаполненным некоторое состояние в нижнем континууме. Такое незанятое состояние будет вести себя как позитрон. Иными словами, под действием электрического поля может возникать электронно-позитронная пара. Среднее число пар, создаваемых в элементе фазового объема равно

(множитель 2 связан с тем, что спин электрона равен Интеграл по можно заменить здесь на где - «время действия» поля, ускоряющего электрон вдоль оси z. Действительно, только те электроны, проекция импульса которых лежит в интервале — сумеют остановиться и протуннелировать за время Т. Поэтому в результате мы получим следующее выражение для среднего значения числа пар, рождаемых полем в единице объема в единицу времени:

Величина представляет собой, очевидно, вероятность того, что состояние в нижнем континууме с импульсом и поляризацией

останется занятым. Поэтому вероятность того, что нижний континуум вообще не изменит своего состояния, будет равна

Эту величину, представляющую собой вероятность того, что вакуум останется вакуумом, можно представить в виде [23 — 25]

где