§ 3.2. Матрица рассеяния

3.2.1. Проблема рассеяния в квантовой электродинамике.

Установив уравнения квантовой электродинамики, мы перейдем к постановке основной ее проблемы — проблемы рассеяния частиц, включающей в себя исследование процессов превращения частиц.

В нерелятивистской квантовой механике при исследовании рассеяния предполагается, что при частицы являются свободными. Далее частицы взаимодействуют между собой и при расходятся и снова становятся свободными. Вопрос заключается в том, чтобы, задав вектор состояния свободных частиц при найти вектор состояния системы частиц при Разложив затем этот вектор по векторам состояний свободных частиц, мы найдем амплитуды различных процессов рассеяния. Такая постановка вопроса соответствует разделению гамильтониана системы на гамильтониан свободных частиц и гамильтониан их взаимодействия предположению, что при гамильтониан взаимодействия обращается в нуль,

и что начальный и конечный векторы состояний являются собственными векторами гамильтониана свободных частиц: энергии системы частиц в начальном и конечном состояниях). Условие оправдывается тем, что при частицы находятся далеко друг от друга и поэтому не взаимодействуют между собой.

Ситуация, однако, осложняется, когда мы пытаемся перенести эту постановку задачи в квантовую электродинамику. Действительно, как ни удалять друг от друга сталкивающиеся частицы, нельзя считать, что гамильтониан взаимодействия Н — в данном случае гамильтониан взаимодействия между электронным и электромагнитным полями — стремится к нулю, так как всегда имеет место взаимодействие между электронами и электромагнитным полем в состоянии вакуума. Единственная формальная возможность обратить в нуль гамильтониан взаимодействия заключается в том, чтобы одновременно обратить в нуль заряд электрона, играющий роль константы связи между электронным и электромагнитным полями. Но, изменяя заряд электрона, мы изменяем также и его массу. Действительно, масса электрона — это энергия наинизшего состояния взаимодействующих полей, обладающего электрическим зарядом, и нет никаких оснований считать, что эта величина должна совпадать с массой гипотетического электрона, не взаимодействующего с электромагнитным полем (такой электрон мы будем называть в дальнейшем «голым» электроном).

Таким образом, предельный переход соответствует, строго говоря, переходу от реальных физических частиц к идеальным «голым» частицам, спектр масс которых и другие их свойства отличаются от спектра масс и соответствующих свойств реальных частиц. Векторы состояний «голых» частиц являются собственными векторами гамильтониана что же касается «свободных» реальных частиц, то их векторы состояний не являются собственными векторами этого гамильтониана. Поэтому в рамках изложенной схемы решения задачи о рассеянии частиц мы можем, строго говоря, исследовать только процессы рассеяния «голых», а не реальных частиц. Тем не менее можно, зная вероятности процессов рассеяния «голых» частиц, непосредственно находить вероятности процессов рассеяния реальных частиц. Это достигается благодаря тому, что имеется полное соответствие между состояниями «голых» и реальных частиц, а следовательно, и между процессами рассеяния тех и других. Действительно, если «выключение» и «включение» взаимодействия между полями производится достаточно медленно, то можно предполагать, что состояния системы полей будут испытывать лишь адиабатическое изменение, не приводящее к возникновению новых и уничтожению старых состояний.

Переходя теперь к исследованию проблемы рассеяния частиц в квантовой электродинамике, мы не будем вначале принимать

во внимание различия между «голыми» и реальными частицами, и только позже (в § 3.6) вернемся к изучению этого вопроса. Мы будем пользоваться представлением взаимодействия, в котором состояние полей описывается вектором состояния удовлетворяющим уравнению (3.1.25). Наша задача формулируется следующим образом. Задано состояние полей при когда они предполагаются невзаимодействующими; требуется определить возможные состояния полей при когда они вновь предполагаются невзаимодействующими.

Как мы видели, формальное решение уравнения (3.1.25) имеет вид Полагая здесь найдем интересующую нас связь между векторами начального и конечного состояний системы полей,

    (3.2.1)

Входящий сюда оператор переводящий вектор начального состояния в вектор конечного состояния называется матрицей рассеяния и обозначается просто через

Будем обозначать векторы состояний свободных полей через , где — набор квантовых чисел, определяющих энергии, импульсы, поляризации и другие величины отдельных электронов и фотонов. Так как то эти векторы являются векторами состояний в представлении взаимодействия при . С другой стороны, при векторы состояний в представлении взаимодействия совпадают с векторами состояний в гейзенберговском представлении. Предполагая, что взаимодействие между полями выключается при достаточно медленно, мы можем характеризовать состояния полей в гейзенберговском представлении теми же наборами квантовых чисел , что и в случае свободных полей, и обозначать соответствующие векторы состояний в гейзенберговском представлении через Таким образом, предположение о медленности выключения взаимодействия может быть сформулировано в виде равенства (адиабатическая гипотеза).

Возвращаясь к формуле (3.2.1), положим в ней где индекс обозначает начальное состояние системы электронов и фотонов. Тогда вектор конечного состояния (при ) будет иметь вид

    (3.2.2)

Его можно, очевидно, представить в виде суперпозиции различных векторов состояния свободных полей:

    (3.2.3)

где. коэффициенты в силу ортонормированности системы векторов состояния (они являются собственными векторами гамильтониана

равны . Подставляя сюда (3.2.2) вместо найдем амплитуду вероятности перехода системы электронов и фотонов из состояния i в состояние

    (3.2.4)

Мы видим, что амплитуды вероятности различных процессов рассеяния определяются элементами матрицы рассеяния, связывающими соответствующие начальные и конечные состояния.