3.2.3. Представление матрицы рассеяния в виде суммы нормальных произведений.

Элементы матрицы рассеяния (для краткости ее называют также -матрицей) определяют, как было разъяснено выше, амплитуды вероятности различных процессов рассеяния электронов и фотонов. Наша задача заключается в том, чтобы показать, как находить эти матричные элементы. Разложим с этой целью матрицу рассеяния в ряд по степеням заряда электрона е:

    (3.2.11)

где матрица пропорциональная имеет вид

    (3.2.12)

и интегрирование по каждой переменной производится по всему 4-пространству. Входящее в (3.2.12) подынтегральное выражение представляет собой произведение операторов электромагнитного поля и операторов электронного поля в представлении взаимодействия, взятых в разных точках Поэтому прежде всего нужно найти матричные элементы этих операторов. Для этого достаточно заметить, что операторы полей в представлении взаимодействия удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям, как и операторы свободных полей. Поэтому мы можем воспользоваться для них теми же разложениями на плоские волны (2.3.1), (2.3.15), что и для свободных полей.

Формулы (3.2.11), (3.2.12), определяющие разложение матрицы рассеяния в ряд по степеням малого параметра , вместе с формулами для матричных элементов операторов полей составляют основу теории возмущений в квантовой электродинамике.

Чрезвычайно важной чертой этой теории является ее релятивистская инвариантность, непосредственно вытекающая из того, что лагранжиан, взаимодействия между полями представляет собой релятивистский инвариант, и, кроме того, как было разъяснено в п. 2.5.4, релятивистски инвариантной является, операция хронологического упорядочения операторов.

Мы будем говорить, что процесс рассеяния, т. е. взаимодействия между полями, является эффектом порядка теории возмущения, если элемент -матрицы, соответствующий этому процессу, пропорционален Очевидно, все процессы порядка описываются матрицей являющейся членом в разложении -матрицы в ряд по степеням заряда электрона.

До сих пор мы предполагали, что при электроны являются полностью свободными. Но в рамках формализма матрицы рассеяния можно также решать задачи о взаимодействии электронов, движущихся в заданном внешнем электромагнитном поле (которое считается классическим), с квантованным электромагнитным полем . В этом случае следует лишь под понимать разложения по собственным функциям электрона во внешнем поле (индексы и — обозначают состояния с положительными и отрицательными частотами):

    (3.2.13)

Матричные элементы этих операторов, соответствующие поглощению и испусканию электронов и позитронов, определяются формулами

Во многих случаях внешнее поле является слабым и его можно учитывать с помощью теории возмущений. Для этого следует заменить в выражении для суммой , где — потенциал квантованного электромагнитного поля, а потенциал внешнего поля, представляющий собой в отличие от с-число, и далее пользоваться разложением (3.2.12). Что касается вектора плотпости тока то он должен строиться с помощью разложений по собственным функциям свободной частицы.

Возможен также и промежуточный способ учета внешнего поля, когда одну его часть следует учитывать точно с помощью уравнения Дирака для электрона во внешнем моле, а другую часть — приближенно прибавлением ее к потенциалу квантованного поля. Операторы при этом определяются с помощью разложений по собственным функциям уравнения Дирака, содержащего только первую часть внешнего поля.

Так как операторы представляют собой сумму операторов испускания и поглощения отдельных частиц, то каждый член в разложении (3.2.11) можно представить в виде суммы произведений операторов исиускания и поглощения электронов,

позитронов и фотонов в различных состояниях. Задача состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях такого рода произведения имеют отличные от нуля матричные элементы, отвечающие какому-либо интересующему нас процессу Если, например, в начальном состоянии i имеется один электрон и ни одного позитрона и фотона, а в конечном состоянии электрон и фотон, то, очевидно, один из операторов поглощения должен «уничтожить» электрон в состоянии I, два оператора испускания должны «создать» электрон и фотон в состоянии f, а все остальные операторы должны подразделиться на пары, причем операторы каждой пары «создают» и «уничтожают» одну и ту же частицу. Такого рода виртуальные процессы испускания и последующего поглощения одной и той же частицы сильно усложняют вычисление элементов матрицы рассеяния. Мы преобразуем поэтому матрицу рассеяния таким образом, чтобы эти процессы не нужно было рассматривать. Для этого нужно представить матрицу рассеяния в виде суммы нормальных произведений. операторов испускания и поглощения частиц, в которых операторы испускания стоят слева от операторов поглощения. При вычислении матричных элементов таких произведений операторы поглощения будут «уничтожать» только те частицы, которые находятся в начальном состоянии, а операторы испускания будут «создавать» только те частицы, которые должны быть в конечном состоянии. Что же касается виртуальных процессов испускания и поглощения частиц, то явным образом они не будут входить в рассмотрение.

Чтобы представить -матрицу в таком виде, учтем, что

Поэтому член в разложении -матрицы можно записать в виде

    (3.2.15)

Отдельные множители Т-произведения, входящего в эту формулу, представляют собой -произведения операторов полей, относящихся к одному и тому же моменту времени. Такого рода Т-произведение мы будем называть смешанным Т-произведением. Таким образом, нужно представить смешанное Т-произведение в виде суммы -произведений. Это может быть сделано с помощью следующих двух правил Вика [4]:

I. Т-произведение операторов полей равно сумме их -произведений, в которых операторы связаны всеми возможными связями.

II. Смешанное Т-произведение операторов полей равно сумме их -произведений, в которых операторы связаны всеми возможными

ными связями, за исключением связей между операторами в пределах одного и того же -произведения.

Разъясним эти правила. Если обозначают операторы полей то, согласно правилу I,

    (3.2.16)

где первое равенство является определением Т-произведения (операторы расположены в хронологическом порядке, т. е. так, что время возрастает справа налево; представляет собой четность произведенной при этом перестановки электронно-позитронных операторов), и различные буквы над операторами во втором равенстве обозначают различные связи. При этом для соседних операторов они определяются как

Связи между несоседними операторами определяются следующим образом: если связуемые операторы являются фотонными, то их можно просто поставить рядом; если же они являются электронно-позитронными операторами, то их можно поставить рядом, умножив предварительно -произведение на четность произведенной перестановки электронно-позитронных операторов. Например, если —электронно-позитронные операторы, то

(так как представляют собой с-числа, то они вынесены за знак -произведения).

Проиллюстрируем теперь правило . Если смешанное -произведение имеет, например, вид то

    (3.2.17)

В эту сумму не входят связи

Используя эти правила, можно представить в виде суммы интегралов, содержащих только -произведения операторов полей:

    (3.2.18)

где под знаком -произведения стоят операторы в точках и величины определяются связями между операторами в остальных из точек (суммирование распространяется на все возможные разбиения совокупности чисел на две совокупности ). Связи между операторами полей определяются формулами (2.3.27), (2.5.25).

Заметим, что в силу градиентной инвариантности теории к связи между операторами электромагнитного поля можно прибавить величину , где произвольная скалярная функция и при этом матрица рассеяния не изменится. Связь между операторами будет определяться формулой

Преобразование Фурье функции имеет вид

    (3.2.19)

где — произвольная функция от связанная с произвольной функцией