4.7.3. Взаимодействие электрона с позитроном и позитроний.

Перейдем к определению энергии взаимодействия электрона с позитроном с точностью до членов Представим для этого матричный элемент энергии взаимодействия в виде суммы двух членов — «прямого» и «обменного»:

Рис. 4.24.

Ясно, что

    (4.7.18)

где — оператор (4.7.14), — волновая функция позитрона (знак минус связан с различием знаков зарядов электрона и позитрона).

Часть энергии взаимодействия, соответствующую обменному матричному элементу, проще всего найти в импульсном представлении. Этому матричному элементу отвечает диаграмма рис. 4.24 и амплитуда

В нерелятивистском приближении

Поэтому, записав обменный матричный элемент в виде

получим

откуда в координатном представлении [37]

Суммарный матричный элемент можно записать в виде

где

Оператор представляет собой оператор энергии взаимодействия электрона с позитроном. Функции (1 и 2 — квантовые числа произвольных состояний электрона и позитрона в заданном внешнем поле) образуют полную систему собственных функций оператора , где — гамильтониан электрона и — гамильтониан позитрона (при наличии внешнего поля они различаются знаком заряда).

Волновая функция стационарного состояния системы электрон — позитрон удовлетворяет уравнению Шредингера

    (4.7.20)

причем она не ограничена никакими требованиями симметрии: электрон и позитрон фигурируют в этом уравнении как нетождественные частицы.

Это уравнение можно применить к задаче о позитронии, т. е. о связанных состояниях системы электрон—позитрон. Оператор Гамильтона этой системы состоит из различных по порядку величины членов. Запишем его в виде

где в включены члены, не содержащие :

a пропорционален

Задача об энергетических уровнях позитрония может быть решена методом теории возмущений, при этом оператор следует рассматривать как невозмущенный гамильтониан, а — как возмущение. Невозмущенная задача чрезвычайно проста; она приводится к задаче об атоме водорода в нерелятивистской квантовой механике. Действительно, воспользуемся системой координат, в которой центр инерции позитрония покоится; тогда где — оператор импульса, соответствующий относительному радиусу-вектору Невозмущенное уравнение Шредингера имеет вид

Оно совпадает с уравнением движения электрона в атоме водорода, если заменить массу электрона на приведенную массу двух электронов, равную Поэтому значения энергии позитрония вдвое меньше по абсолютной величине соответствующих значений энергии атома водорода, а радиусы орбит — вдвое больше. Невозмущенные уровни, как хорошо известно,

зависят только от главного квантового числа и не зависят от квантовых чисел , определяющих полный и орбитальный моменты.

Такая структура уровней позитрония, т. е. их смещение и расщепление вызывается энергией возмущения

где представляет собой поправку порядка к кинетической энергии частиц а остальные слагаемые содержатся в гамильтониане взаимодействия

Оператор объединяет те члены гамильтониана взаимодействия, которые не содержат спиновых операторов (орбитальное взаимодействие):

    (4.7.21)

где — оператор орбитального момента. В операторе собраны те члены, которые содержат как оператор импульса, так и спиновые операторы (спин-орбитальное взаимодействие):

    (4.7.22)

где S — оператор полного спина, Оператор описывает взаимодействие спиновых магнитных моментов электрона и позитрона:

Наконец, через обозначен оператор обменного взаимодействия

Весьма существенным является то обстоятельство, что гамильтониан возмущения содержит операторы, действующие на спиновые переменные частиц только в виде суммы операторов спинов частиц. Поэтому уровни позитрония могут быть разделены на синглетные, или уровни парапозитрония , и триплетные, или уровни ортопозитрония

Вычислив матричные элементы оператора можно найти тонкую структуру энергетических уровней позитрония. Мы не будем приводить здесь вычислений, а отметим лишь, что операторы диагональны по отношению к орбитальному квантовому числу и не зависят от спиновых переменных. Поэтому описываемое этими операторами взаимодействие снимает вырождение по I. Для определения поправки к энергии уровня нужно вычислить средние значения этих операторов в невозмущенных состояниях. При этом для вычисления различных

средних значений можно пользоваться известными формулами для атома водорода (с учетом приведенной массы):

где — боровский (водородный) радиус. Используя эти формулы, получим

где — удвоенная энергия ионизации атома водорода. Аналогичным образом

Оператор также диагонален относительно и S. Его собственные значения равны нулю в синглетных состояниях и зависят от значения полного момента в триплетных состояниях. Воспользовавшись тем, что

можно сразу написать

В операторе второе слагаемое диагонально относительно S и отлично от нуля только при

Первый член в V имеет матричные элементы, отличные от нуля только при причем как диагональные, так и недиагональные относительно l. Из законов сохранения полного момента, спинового момента и четности легко заключить, что отличные от нуля недиагональные элементы связывают состояния с при и данном Матричные элементы (при данном ) имеют вид

Наконец, среднее значение отлично от нуля лишь при

Таким образом, из всех членов, входящих в только содержит недиагональные элементы, относящиеся к случаю Поэтому состояния, для которых (четность как синглетные, так и триплетные, можно классифицировать по их орбитальному моменту.

Обозначим смещение уровня каждого такого состояния по отношению к его невозмущенному значению через (в скобках указан спектроскопический символ терма). Тогда

Термы с четностью являются суперпозицией невозмущенных термов, для которых Для них

Полученные формулы позволяют определить разность энергий основных состояний орто- и парапозитрония. Зависимость энергии от S при содержится лишь в формулах для . Из этих формул следует, что основной уровень ортопозитрония лежит выше основного уровня парапозитрония, причем разность уровней равна

    (4.7.25)