4.3.7. Точная теория тормозного излучения в нерелятивистской области.

Матричный элемент (4.3.3), определяющий сечение тормозного излучения, в кулоновском поле ядра может быть

точно вычислен в нерелятивистской области [1]. В этом случае формула (4.1.5) приобретает вид

    (4.3.52)

(см. формулу (4.1.10) для мультипольного излучения). Поэтому вопрос сводится к вычислению матричного элемента координаты с волновыми функциями непрерывного спектра в кулоновском поле.

Волновые функции непрерывного спектра требуют для своего полного определения задания асимптотического поведения на бесконечности, которое может быть двояким, так как на бесконечности функция может иметь вид либо суммы плоской волны, соответствующей определенному импульсу, и расходящейся сферической волны, либо суммы плоской волны и сходящейся сферической волны. Волновая функция, описывающая начальное состояние электрона, должна обладать асимптотикой первого вида, а волновая функция конечного состояния — асимптотикой второго вида.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что элемент матрицы рассеяния, определяющий тормозное излучение, можно представить, во-первых, в виде

    (4.3.53)

где — волновые функции электрона во внешнем поле в первом приближении по внешнему полю, и, во-вторых, в виде

    (4.3.54)

где — волновые функции свободного электрона. Сравнивая оба эти выражения и учитывая, что при подстановке волновых функций свободного электрона, т. е. вместо выражение (4.3.53) обращается в нуль, получим

Эти формулы имеют наглядный смысл: так как является функцией Грина уравнения Дирака, то, интерпретируя как плотность источников, можно сказать, что вторые слагаемые в (4.3.55) представляют собой рассеянную электронную волну, получающуюся в результате суперпозиции волн, рассеянных в различных элементах четырехмерного объема

Суммирование получающихся в теории возмущений рядов должно в принципе приводить к точным решениям уравнений Дирака.

Подстановка в (4.3.65) вместо плоских волн дает

    (4.3.56)

где — фурье-компонента внешнего потенциала. В электростатическом поле

    (4.3.57)

Легко теперь убедиться, используя правило обхода полюсов функции что функции содержат при кроме плоской волны, только расходящиеся волны и не содержат сходящихся волн. Это утверждение справедливо не только для первого приближения, но и для всех последующих приближений. Поэтому и точные волновые функции электрона во внешнем поле, относящиеся к непрерывному спектру, должны отличаться этим же свойством, т. е. функция начального состояния должна иметь вид суммы плоской и расходящейся сферической волн:

Такой же вид должна иметь и функция т. е. функция, комплексно-сопряженная волновой функции конечного состояния. Поэтому волновая функция конечного состояния должна иметь вид суммы плоской и сходящейся сферической волн:

    (4.3.59)

В кулоновском поле в нерелятивистском приближении волновые функции с нужной асимптотикой имеют следующий вид:

где — вырожденная гипергеометрическая функция, — импульсы электронов в начальном и конечном состояниях, — скорость электрона) и

Согласно общим правилам п. 3.4.3 дифференциальное сечение излучения фотона с частотой и поляризацией в телесном угле равно

( - элемент телесного угла, в Котором лежйт импульс электрона после рассеяния).

Просуммированное по двум поляризациям фотона дифференциальное сечение тормозного излучения имеет вид

    (4.3.61)

Для вычисления D воспользуемся следующей общей формулой [17]:

где

Ясно, что

Используя найденное таким образом значение D, можно получить следующее выражение для дифференциального сечения тормозного излучения, проинтегрированного по углам [1]:

    (4.3.62)

где . Отсюда следует, что при справедлива формула

Заменяя здесь единицей, мы получим формулу (4.3.32) для сечения тормозного излучения в нерелятивистской области в борновском приближении.

Однако формула (4.3.63) имеет более широкую область при менимости, чем формула (4.3.32), а именно, она применима при единственном условии: , что же касается , то эта величина может быть произвольной.