5.1.2. Поляризационный оператор второго порядка.

Перейдем к вычислению поляризационного оператора порядка :

Вычислив след произведения матриц, получим

Нас будет интересовать только поперечная часть этого тензора (пропорциональная — ), так как только она имеет физический смысл. Поэтому мы запишем в виде

    (5.1.14)

где

Чтобы найти достаточно выделить в часть, пропорциональную . Кроме первого слагаемого в числителе подынтегрального выражения в (5.1.13), вклад в интересующую нас часть Дает также второе слагаемое, так как

где (третье слагаемое вклада, пропорционального не дает).

Используя полученные выражения и формулы

получим следующее выражение для

Это выражение мы должны теперь регуляризовать. Для этого нужно, в соответствии с правилами п. 3.7.1, вычесть из два первых члена в разложении этих выражений по степеням

    (5.1.16)

где

Выполнив интегрирование, получим

    (5.1.17)

где

Для пространственноподобного вектора (канал рассеяния), нужно положить

что эквивалентно замене в . При этом приобретает вид

    (6.1.18)

где

Для случая (канал аннигиляции) в выражении следует написать

При этом мы получим

В пределе, когда

а в случае

Зная можно, согласно (3.6.20), определить перенормированную фотонную функцию Грина во втором приближении теории возмущений:

Используя (5.1.16) и (5.1.17), получим

В п. 3.5.2 мы определили величину

которая должна сопоставляться внешней фотонной линии. Эта величина представляет собой сумму заданного внешнего электромагнитного поля и добавки к нему

которую можно интерпретировать как электромагнитное поле, обусловленное поляризацией вакуума электронно-позитронного поля при включении поля

Во втором приближении теории возмущений мы должны вместо подставить и регуляризовать последнее выражение. В результате мы получим следующее выражение для добавки к потенциалу внешнего электромагнитного поля, обусловленной поляризацией вакуума электронно-позитронного поля:

При мы имеем, очевидно, поле фотона. В этом случае добавки к полю не должно возникать, и, действительно, при обращается в нуль.

Потенциал внешнего поля связан стоком создающим это поле, соотношением

    (5.1.22)

или в компонентах Фурье При этом, так как

Изменение поля будет приводить к изменению тока. Используя соотношения (5.1.21) и (5.1.22), легко убедиться, что добавка к току, обусловленная поляризацией вакуума электронно-позитронного поля, определяется формулой

Разлагая величину, стоящую в квадратных скобках, в ряд степеням и ограничиваясь членами порядка, получим

Переходя от компонент Фурье к функциям координат и времен, найдем [2]