5.1.3. Вершинная функция третьего порядка.

Рассмотрим, теперь вершинную функцию порядка

После регуляризации величина так же как и будет содержать инфракрасную расходимость (если — импульсы свободного электрона, то ) содержит инфракрасную расходимость и до регуляризации). Поэтому при вычислении: мы будем пользоваться выражением (5.1.2) для функции

Подставляя это выражение для и выражение (2.5.32) для: в (5.1.24), получим

где

(в скобке ) нужно сохранить 1 в случае интеграла — в случае интеграла — в случае интеграла

Из всех интегралов при больших расходится, и притом логарифмически, только третий интеграл. В области малых к (при может расходиться первый интеграл (если представляют собой импульсы свободного электрона). По этой причине при вычислении интегралов и можно положить

Рассмотрим прежде всего тот случай, когда представляют собой импульсы свободного электрона, Используя формулы

где представим в виде

Входящие сюда интегралы по k определяются формулами приложения (А.1.16).

Выполнив интегрирование по получим

Для вычисления этих интегралов заметим, что

    (5.1.27)

где связано с q соотношением

    (5.1.28)

Введем далее вместо у новую переменную Тогда

    (5.1.29)

и интеграл приобретает вид

    (5.1.30)

Интегралы и после подстановки в них (5.1.28) и (5.1.29) вычисляются немедленно:

    (5.1.31)

Вернемся теперь к формуле (5.1.25), определяющей и упростим коэффициенты, стоящие перед интегралами Рассмотрим прежде всего выражение, стоящее перед

Так как при вычислениях матричных элементов величина всегда умножается слева на а справа — на где

биспинорные амплитуды электрона С импульсами то в последнем выражении матрицу стоящую справа, и матрицу стоящую слева, можно заменить на — (если слева стоит матрица а не матрица или справа матрица а не то прежде чем выполнить эту замену, следует сделать подстановку После таких преобразований множитель перед приобретает вид

Последнее слагаемое в правой части этого соотношения может быть заменено на . Действительно, замечая, что и умножая это равенство слева на q, получим Последнее слагаемое не дает вклада при вычислении матричных элементов, так как . В результате коэффициент, стоящий в перед может быть представлен в виде

Аналогичным образом могут быть преобразованы множители, стоящие перед интегралами

Подставляя эти выражения и значения интегралов (5.1.30), (5.1.31) в (5.1.25), получим следующее выражение для

где

В этом выражении можно заменить матрицу стоящую справа, и матрицу стоящую слева, на . В результате мы получим

    (5.1.32)

Нам остается регуляризовать . Для этого нужно вычесть из величину , где — импульс

свободного электрона, . Так как в рассматриваемом случае представляют собой импульсы свободного электрона, то, очевидно,

где величина связана, согласно (3.6.15), с соотношением

    (6.1.34)

и в рассматриваемом приближении определяется формулой (6.1.9). Заметим, что имеет место равенство

Регуляризованное значение определяется формулой

Для пространственноподобных q (канал рассеяния)

    (5.1.37)

где

В случае времениподобного (канал аннигиляции)

где

В пределе имеем

Аналогичным образом может быть найдена вершинная функция порядка в том случае, когда только одна электронная линия соответствует свободному электрону, фотонная же линия соответствует реальному фотону. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а приведем только окончательный результат для регуляризованной функции при

    (5.1.39)

где

Мы получили формулы для вершинной функции в порядке теории возмущений. Ясно, что с учетом высших приближений функция должна иметь следующий вид:

где — некоторые функции инварианта Их можно представить в виде разложения по степеням а:

Величины называются электронными форм-факторами. Зависимость форм-факторов от определена аналитически с точностью

до членов, пропорциональных [3]. Для малых форм-фактор определяется формулой

Для случая больших времениподобных

а для больших пространственноподобных