1.7.5. Упругое рассеяние в эйкональном приближении.
Если энергия частицы достаточно велика, а угол рассеяния мал, то для волновой функции можно воспользоваться высокоэнергетическим приближением (см. п. 1.3.4). Подставляя выражение (1.3.27) для 
в общую формулу для амплитуды рассеяния (1.7.14) и отбрасывая члены порядка 
получим следующее выражение для амплитуды рассеяния в эйкональном приближении:
(1.7.37)
где
и ось z параллельна 
множитель 
мы заменили на единицу, так как компонента переданного импульса 
пропорциональна 
Выполнив в 
интегрирование по z, получим
(1.7.39)
Подставляя это выражение в (1.7.11) и производя суммирование по поляризациям, получим дифференциальное сечение упругого рассеяния быстрых частиц в эйкональном приближении
(1.7.40)
Учет в формулах (1.3.20) и (1.7.40) членов порядка 
приводит к следующему выражению для амплитуды рассеяния [27, 28]:
(1.7.41)
где
(1.7.42)
и предполагается, что 
.
В случае потенциала 
в (1.7.41) можно выполнить интегрирование по углу между 
. В результате получим
(1.7.43)
где 
— функция Бесселя. (В формулах (1.7.41) и (1.7.43) мы явно выписали постоянную Планка 
.)
Эйкональное приближение, как уже отмечалось, справедливо в области малых углов рассеяния. Если малые углы рассеяния играют главную роль, то, используя (1.7.40), можно найти интегральное сечение рассеяния
Заменяя в этом случае 
на 
имеем 
, где 
. Выполнив теперь интегрирование по 
, получим
(1.7.44)
Это выражение находится в соответствии с оптической теоремой (1.7.25).
Приведем несколько предельных случаев эйкональной амплитуды рассеяния. Если 
, то
Так как величина 
пропорциональна 
пропорциональна 
, то первое слагаемое в выражении для 
соответствует первому борновскому приближению, а второе слагаемое — второму борновскому приближению.
Пусть теперь 
, но по-прежнему 
. Этот предельный случай 
соответствует переходу к классической механике. При 
можно воспользоваться следующим асимптотическим представлением функции Бесселя:
Поэтому амплитуда рассеяния (1.7.43) приобретает вид
Для вычисления входящего сюда интеграла можно воспользоваться методом стационарной фазы [29]. В результате получим
(1.7.46)
где 
определяется из условия стационарности фазы
Дифференциальное сечение при этом совпадает с результатом, даваемым классической теорией рассеяния:
(1.7.48)
Этой формулой можно пользоваться, если 
.
