1.2.6. Пространственное отражение, обращение времени и зарядовое сопряжение.

Уравнение Дирака инвариантно также относительно дискретных преобразований полной группы Лоренца — пространственного отражения (инверсии) и обращения времени.

При пространственном отражении 4-вектор потенциала преобразуется согласно закону

Мы предположим, что преобразованию инверсии соответствует следующее преобразование биспиноров

где Р — некоторая неособенная четырехрядная матрица. Повторяя рассуждения предыдущего раздела, легко убедиться, что должны выполняться следующие условия: . Отсюда следует, что

    (1.2.35)

где

Для определения величины мы можем исходить из того, что двойное отражение должно быть эквивалентно либо тождественному преобразованию, либо вращению на угол . В первом случае и, следовательно, а во втором случае, согласно (1.2.31), и, следовательно, . В конце этого пункта мы сформулируем дополнительное требование, на основании которого должен быть сделан выбор

В зависимости от знака следует различать два типа биспиноров Это значит, что в принципе возможно существование двух типов частиц, подчиняющихся одному и тому же уравнению Дирака, но отличающихся характером преобразования при пространственном отражении. Об этих частицах говорят, что они обладают различной внутренней четностью.

Из (1.2.35) и (1.1.6) следует, что двухкомпонентные спиноры преобразуются при пространственном отражении Р по законам

т. е. независимо друг от друга, причем четности противоположны. Этот результат следует непосредственно из уравнений (1.1.7), если учесть, что оператор спина является максиально-векторным оператором. Из (1.2.35) и (1.2.11) следует, что двухкомпонентные 4-спиноры преобразуются при пространственном отражении по законам

Таким образом, 4-спиноры , преобразующиеся независимо друг от друга при преобразованиях собственной группы

Лоренца, переходят друг в друга при преобразовании простран огненного отражения. По этой причине уравнение Вейля (1.2.13), а также уравнение (1.2.5) не обладают инвариантностью относительно пространственных отражений.

Рассмотрим теперь преобразование обращения времени:

В нерелятивистской квантовой механике это преобразование сопровождается антилинейным преобразованием волновой функции . Уравнение Дирака также инвариантно по отношению к антилинейному преобразованию, которое мы запишем в виде

где Т — некоторая неособенная матрица, удовлетворяющая условиям

откуда

    (1.2.37)

где — матрица зарядового сопряжения, введенная в п. 1.1.3.

Рассмотрим теперь преобразование зарядового сопряжения

Легко проверить, что зарядово-сопряженные волновые функции удовлетворяют уравнениям Дирака

которые отличаются от уравнений (1.2.1) знаком электрического заряда. Так как закон преобразования биспиноров относительно преобразований собственной группы Лоренца однозначно следует из уравнений Дирака (1.2.1), то ясно, что биспиноры преобразуются при преобразованиях собственной группы Лоренца так же, как и биспиноры

Потребуем теперь, чтобы закон преобразования зарядово-сопряженных биспиноров не отличался от соответствующих законов преобразования биспиноров также и при пространственном отражении и обращении времени. Это дополнительное требование приводит к условиям

    (1.2.38)