2.3.3. Хронологическое и нормальное произведения операторов электромагнитных потенциалов.

При исследовании взаимодействия электромагнитного поля с электронами существенную роль играют произведения операторов потенциалов, расположенных в определенном порядке.

Различают два типа упорядоченных произведений — хронологические и нормальные произведения. В хронологическом произведении которое мы будем обозначать через множители располагаются в хронологическом порядке, а именно: справа стоит множитель, отвечающий меньшему значению времени, а слева — большему,

    (2.3.20)

В нормальном произведении которое мы будем обозначать через операторы испускания фотонов расположены слева от операторов поглощения. Иными словами, если представить оператор в виде где содержит слагаемые с положительными, а — слагаемые с отрицательными частотами, то

    (2.3.21)

Легко видеть, что эти определения являются релятивистски инвариантными.

Используя разложение потенциалов (2.3.1) на плоские волны, можно выразить N- и Г-произведения потенциалов через операторы испускания и поглощений фотонов:

    (2.3.22)

Рассмотрим разность между хронологическим и нормальным произведениями операторов потенциалов. Эта разность называется связью операторов и обозначается через А" (вместо а может применяться также любая другая буква латинского алфавита):

    (2.3.24)

Из (2.3.22), (2.3.23) и (2.3.2) следует, что не содержит операторов испускания и поглощения фотонов, т. е. является с-числом:

Переходя от суммы к интегралу, получим отсюда

    (2.3.25)

Легко видеть, что связь операторов равна среднему значению Г-произведения этих операторов в состоянии вакуума:

    (2.3.27)

Сравнение этой формулы с (2.3.24) показывает, что среднее значение в состоянии вакуума N-произведения операторов потенциалов равно нулю:

Определим еще компоненту Фурье функции

    (2.3.28)

где (все четыре составляющие вектора k являются независимыми). Воспользуемся для этого соотношением

где и интегрирование производится в комплексной плоскости вдоль контура С, изображенного на рис. 2.1. (Справедливость этого соотношения следует из того, что при путь интегрирования можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса, расположенной в нижней полуплоскости.

Рис. 2.1.

Рис. 2.2.

Тогда интеграл определится вычетом в полюсе . Если же , то путь интегрирования должен быть замкнут полуокружностью в верхней полуплоскости. При этом интеграл определится вычетом в точке . В обоих случаях мы получим равенство (2.3.29).)

Вместо того чтобы интегрировать в (2.3.29) вдоль контура С, можно интегрировать вдоль вещественной оси сместив первый полюс в нижнюю, а второй полюс в верхнюю полуплоскость (рис. 2.2), т. е. следует заменить знаменатель подынтегрального выражения на , где — бесконечно малое положительное число.

Подставляя (2.3.29) в (2.3.26) и сравнивая с (2.3.28), найдем компоненту Фурье

    (2.3.30)

Так как — то удовлетворяет уравнению

    (2.3.31)

т. е. является функцией Грина волнового уравнения.

Легко выяснить общую структуру сингулярных решений волнового уравнения. Так как компонента Фурье функции удовлетворяющей уравнению равна

то любое сингулярное решение волнового уравнения может быть представлено в виде

где а — постоянная и С — контур, вдоль которого производится интегрирование в плоскости комплексного переменного

Рис. 2.3.

Можно перечислить все возможные функции вида (2.3.32). Заметим с этой целью, что подынтегральная функция в (2.3.32) имеет только две особые точки в плоскости комплексного переменного , где . Поэтому контур С можно провести одним из семи способов, указанных на рис. 2.3 (отмечены точки ).

Если контуром является С и , то мы получим, согласно (2.3.29) и (2.3.30), функцию

Контуру соответствует функция ,

Контурам и С а соответствуют функции Грина волнового уравнения

Действительно, применив к оператор Даламбера и совмещая контуры интегрирования с осью , получим

    (2.3.36)

Разъясним различие между функциями . Если , то контур можно замкнуть полуокружностью в нижней полуплоскости, и мы получим функцию . Если же то путь интегрирования можно замкнуть сверху, где у подынтегральной функции нет полюсов, и мы получим нуль. Поэтому

Аналогичным образом можно показать, что

Мы видим, что функция обращается в нуль при отрицательных, а функция — при положительных значениях времени.

Из (2.3.37) и (2.3.38) следует, что решение неоднородного волнового уравнения

обращающееся в нуль при может быть представлено в виде

    (2.3.39)

Таким образом, функция является функцией Грина волнового уравнения, приводящей к запаздывающим решениям. Аналогично можно убедиться, что функция Грина приводит к опережающим решениям.