1.1.5. Поляризационные состояния электрона.
Возвратимся к уравнениям (1.1.24). Эти уравнения не определяют биспиноры и 
однозначно (т. е. с точностью до нормировочной константы). Действительно, так как спин электрона равен 
, то каждое из уравнений (1.1.24) имеет два линейно-независимых решения. Об этих решениях говорят, что они соответствуют двум различным состояниям поляризации электрона.
Состояние поляризации нерелятивистского электрона можно характеризовать, задав направление, проекция спина на которое имеет вполне определенное значение, а именно 
или 
. Более того, каково бы ни было состояние электрона, обязательно найдется некоторое направление, на которое проекция спина электрона равна 
. Иными словами, каков бы ни был двухкомпонентный спинор v, описывающий нерелятивистский электрон (или позитрон), обязательно найдется единичный вектор 
такой, что будет выполняться соотношение
Для доказательства этого утверждения воспользуемся тем, что произвольная двухрядная матрица Q может быть разложена по полному набору двухрядных матриц, состоящему из единичной матрицы и матриц Паули:
Взяв в качества Q матрицу 
, получим
(1.1.28)
Умножив далее обе части этого равенства на и просуммировав по 
, найдем 
или
(1.1.29)
где единичный вектор 
определяется равенством
(1.1.29)
(предполагается, что — 
)
Таким образом, мы доказали сформулированное утверждение и, кроме того, выяснили, что вектор 
связан со средним значением оператора спина электрона.
Заметим, что соотношение (1.1.28) при условии нормировки 
принимает вид
Рассмотрим теперь биспинор 
описывающий неподвижный электрон. В этом случае соотношение (1.1.29) принимает вид
(1.1.31)
где
Вводя далее матрицу 
, имеем 
, и из уравнения Дирака следует, что 
Поэтому (1.1.31) можно записать в виде
Если электрон движется и описывается биспиыором и, то предыдущее уравнение приобретает вид
(1.1.32)
где 4-вектор 
получается из вектора 
с помощью преобразования Леренца, переводящего систему отсчета, в которой электрон покоится, в систему в которой он обладает импульсом 
:
(1-1-33)
4-вектор 
называется 4-вектором поляризации электрона. Отметим, что
(1.1.34)
Особенно просто 
-вектор а выглядит, если 
(«поперечная» поляризация):
Если вектор 
параллелен 
(«продольная» поляризация: знак плюс соответствует спиральности 
или правополяризованному электрону, знак минус — спиральности 
или левополяризованному электрону), то
Переходя в (1.1.32) к зарядово-сопряженному биспинору 
, получим соотношение, определяющее состояние поляризации позитрона:
(1.1.37)
Выпишем теперь все соотношения, определяющие (с точностью до фазового множителя) биспинор 
, описывающий электрон (позитрон), 4-импульс которого равен 
, а поляризация определяется 4-вектором а:
(1.1.38)
При вычислении вероятностей различных процессов рассеяния с участием поляризованных электронов необходимо знать квадратичную комбинацию 
. Она полностью определяется соотношениями (1.1.38) и равна
(1.1.39)
