§ 3.3. Графическое представление элементов матрицы рассеяния

3.3.1. Графическое представление нормальных произведений.

В п. 3.2.3 было показано, что матрицу рассеяния можно представить в виде суммы нормальных произведений операторов полей, соответствующих различным процессам рассеяния частиц. Каждое такое нормальное произведение, а следовательно, и любой процесс рассеяния, можно изображать графически [6], если условиться сопоставлять -векторам по которым производится интегрирование в матрице точки диаграммы, а операторам полей — линии, проходящие через эти точки, называемые вершинами диаграммы. Оператор мы будем изображать пунктирным лучом без определенного направления с началом в вершине оператор — направленным сплошным лучом, идущим к вершине и оператор — направленным сплошным лучом, идущим из вершины Все эти лучи, которые называются внешними линиями, предполагаются уходящими за пределы диаграммы.

Так как представляет собой сумму операторов поглощения и испускания фотонов, то пунктирной внешней линией будет изображаться фотон, испущенный или поглощенный в результате процесса рассеяния; кроме того, пунктирной внешней линией мы будем изображать также внешнее электромагнитное поле. Аналогичным образом, поскольку представляет собой сумму операторов уничтожения электронов и рождения позитронов, то сплошная внешняя линия, направленная к вершине, будет служить для изображения электрона, существовавшего до процесса рассеяния, или позитрона, образовавшегося в результате процесса рассеяния. Наконец, так как представляет собой сумму операторов рождения электронов и уничтожения позитронов, то сплошная внешняя линия, направленная от вершины, будет служить для изображения позитрона, существовавшего до процесса рассеяния, или электрона, образовавшегося в результате процесса рассеяния.

Кроме операторов полей мы должны графически изображать также связи между операторами. Условимся сопоставлять связям между операторами внутренние линии диаграммы, соединяющие ее вершины, а именно будем изображать связь между фотонными

операторами пунктирной линией (не имеющей определенного направления), соединяющей вершины х и у, и связь между электронными операторами сплошной линией, соединяющей вершины х и у и имеющей направление от вершины х к вершине у.

Так как в выражении для каждая точка является аргументом трех операторов — одного фотонного и двух электронных, то через каждую вершину диаграммы проходит одна фотонная и две электронные линии.

Диаграммы, изображающие отдельные нормальные произведения, входящие в матрицу содержат вершин. Мы будем называть их диаграммами порядка.

Они могут служить для изображения эффектов приближения теории возмущений.

Приведем несколько примеров.

Начнем с эффектов первого порядка.

В этом случае имеется, очевидно, только одна диаграмма, представленная на рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Она изображает рассеяние электрона позитрона во внешнем поле, излучение или поглощение фотона электроном (позитроном), а также образование или поглощение электронно-позитронной пары. (Справа от диаграммы символически указано подынтегральное выражение матричного элемента ) без знака нормального произведения.)

Рис. 3.3.

Рассмотрим далее эффекты второго порядка. В этом случае возможно всего шесть топологически различных диаграмм, изображенных на рис. 3.3. Рядом с диаграммами символически указано подынтегральное выражение элемента матрицы (без знака нормального произведения). Линии, соединяющие различные множители служат для обозначения связей между операторами.

Рассмотрим подробнее диаграммы 2 и 3 рис. 3.3. Первой из этих диаграмм соответствует одно нормальное произведение,

второй диаграмме — два нормальных произведения . Оба последних -произведения, отличающихся местом наложения одной связи между электронными операторами, после интегрирования по вносят, как легко убедиться, одинакозый вклад в элемент матрицы соответствующий диаграмме 3. Поэтому достаточно рассматривать только одно из этих нормальных произведений и вносимый им вклад в элемент матрицы умножить на 2.

Аналогичная ситуация имеет место и для других диаграмм. Каждой из них может соответствовать несколько нормальных произведений, отличающихся только местами наложения связей между операторами полей и вносящих одинаковый вклад в элемент матрицы рассеяния. Они называются эквивалентными нормальными произведениями.

Перейдем к перечислению диаграмм третьего порядка. Легко убедиться, что всего существует 15 топологически различных диаграмм, соответствующих различным эффектам третьего порядка

Например, диаграмме 8 рис. 3.4 соответствует шесть эквивалентных -произведений:

Учитывая, что в -произведении можно менять местами электронные операторы, умножая при этом -произведение на четность произведенной перестановки и используя (2.3.24) и (2.5.25), легко убедиться, что все шесть -произведений вносят одинаковый вклад в элемент матрицы соответствующий изображенному на диаграмме 8 процессу рассеяния.

Заметим, что число эквивалентных N-произведений, соответствующих данной диаграмме, можно определять следующим простым способом. Нужно, перенумеровав вершины диаграммы числами , определить число перестановок этих чисел, не меняющих вида диаграммы. Если это число равно для диаграммы 2 рис. 3.3 и для диаграммы 3 рис. 3.3), то число эквивалентных -произведений будет

Приведенные на рис. 3.3 диаграммы изображают нормальные произведения операторов полей в общем виде и описывают одновременно ряд процессов.

(см. скан)

Рис. 3.4

Эти операторы представляют собой суммы операторов испускания и поглощения частиц в различных состояниях; поэтому нормальное произведение, отвечающее какому-либо конкретному физическому процессу, может быть представлено в виде суммы нескольких слагаемых, которые содержат произведения

операторов испускания и поглощения частиц, участвующих в рассматриваемом процессе, и отличаются друг от друга только порядком расположения операторов. Эти слагаемые можно изображать диаграммами, которые топологически эквивалентны и отличаются друг от друга только порядком расположения электронных и фотонных линий.

Рассмотрим, например, излучение фотона электроном во внешнем поле. Это — процесс второго порядка, и отвечающее ему нормальное произведение в подынтегральном выражении имеет вид . Вместо мы должны подставить сюда , где — внешнее поле и А — оператор испускания фотона с 4-импульсом k. Нормальное произведение разобьется на два члена:

которым соответствуют две диаграммы (рис. 3.5), отличающиеся друг от друга только порядком расположения фотонных линий, изображающих

Рис. 3.5.

Если в процессе участвуют фотонов, то после разбиения нормального произведения на слагаемые, содержащие операторы поглощения и испускания отдельных фотонов, мы получим членов, которым соответствуют диаграммы, отличающиеся друг от друга только порядком расположения фотонных линий.

Аналогичным образом, если в процессе участвует несколько электронов и позитронов, то нормальное произведение может быть представлено в виде суммы членов, которые содержат одни и те же операторы испускания и поглощения электронов и позитронов и отличаются только порядком расположения этих операторов, а соответствующие этим членам диаграммы отличаются друг от друга только порядком расположения электронных линий.

Например, процессу рассеяния электрона электроном соответствуют две диаграммы (рис. 3.6); на этих диаграммах и

обозначают -импульсы электронов до и после рассеяния, — 4-импульсы виртуальных фотонов, которыми обмениваются оба электрона.

В отличие от процессов с участием нескольких фотонов, для которых отдельным диаграммам соответствуют матричные элементы, имеющие один и тот же знак, для процессов с участием нескольких электронов отдельным диаграммам соответствуют матричные элементы, могущие иметь разные знаки. Это связано с тем, что операторы испускания и поглощения электронов и позитронов, находящихся в различных состояниях, в отличие от коммутирующих операторов испускания и поглощения фотонов не коммутируют между собой.

Рис. 3.6.

Например, двум диаграммам рис. 3.6 соответствуют матричные элементы, имеющие разные знаки. Действительно, подынтегральное выражение части матрицы описывающей рассеяние электрона электроном, равно

Подставляя сюда , где — операторы испускания и поглощения электрона с 4-импульсом — волновая функция электрона с 4-импульсом , мы получим четыре отличных от нуля члена:

Первые два члена представляют собой два эквивалентных нор мальных произведения, соответствующих первой диаграмме рис. 3.6, а вторые два члена — два эквивалентных нормальных произведения, соответствующих второй диаграмме.

Переставляя в третьем члене операторы а и легко убедиться, что поэтому, как и утверждалось, матричные элементы, соответствующие обеим диаграммам, имеют разные знаки.

Этот результат может быть обобщен следующим образом. Пусть в процессе участвует z электронов, импульсы которых до и после рассеяния равны соответственно тогда процессу будут соответствовать диаграмм, которые отличаются обозначениями электронных линий после рассеяния. Если на двух диаграммах электронные линии после рассеяния (являющиеся продолжением электронных линий до рассеяния) обозначены соответственно через то относительный знак матричных элементов, отвечающих обеим диаграммам, будет определяться четностью перестановки

Таким образом, матричный элемент, соответствующий какому-либо физическому процессу, всегда можно после разбиения нормального произведения представить в виде

    (3.3.1)

где отдельные слагаемые отличаются друг от друга порядком расположения операторов поглощения и испускания частиц, участвующих в процессе; диаграммы, изображающие эти слагаемые, топологически эквивалентны и отличаются только порядком расположения электронных и фотонных линий.